A função definida por
f(x, y)=cc x^4-y^4x^2-y^2 & , se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)
é contínua em (0,0) ?

Passo 1

A questão pede para testar se a função de duas variáveis
f(x,y)= x^4-y^4x^2-y^2,&(x,y)neq(0,0)1,&(x,y)=(0,0)
é contínua em (0,0). Vamos usar conceito de limite e valor da função no ponto.

Passo 2

Primeiro note que para (x,y)≠(0,0) e x2≠y2 podemos fatorar:
x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)
Então
f(x,y)=x^4-y^4x^2-y^2=x^2+y^2
ou seja, sempre que f estiver bem definida (fora das retas x=±y), ela vale x2+y2.

Passo 3

Agora avaliaremos o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0). Como para todos os pontos de domínio próximos à origem vale f(x,y)=x2+y2, basta observar:
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=lim(x,y)to(0,0)(x^2+y^2)=0

Passo 4

Porém o valor da função no ponto (0,0) foi definido como f(0,0)=1. Como o limite 0 é diferente de 1, a definição falha na condição de continuidade.

Passo 5

Conclusão: o limite de f em (0,0) não coincide com f(0,0), logo f não é contínua em (0,0).

Resposta

Não, f não é contínua em (0,0) porque o limite vale 0, mas f(0,0)=1.

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