A função definida por
é contínua em
?
Passo 1
A questão pede para testar se a função de duas variáveis
f(x,y)=
é contínua em (0,0). Vamos usar conceito de limite e valor da função no ponto.
f(x,y)=
é contínua em (0,0). Vamos usar conceito de limite e valor da função no ponto.
Passo 2
Primeiro note que para (x,y)≠(0,0) e x2≠y2 podemos fatorar:
Então
ou seja, sempre que f estiver bem definida (fora das retas x=±y), ela vale x2+y2.
Passo 3
Agora avaliaremos o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0). Como para todos os pontos de domínio próximos à origem vale f(x,y)=x2+y2, basta observar:
Passo 4
Porém o valor da função no ponto (0,0) foi definido como f(0,0)=1. Como o limite 0 é diferente de 1, a definição falha na condição de continuidade.
Passo 5
Conclusão: o limite de f em (0,0) não coincide com f(0,0), logo f não é contínua em (0,0).
Resposta
Não, f não é contínua em (0,0) porque o limite vale 0, mas f(0,0)=1.