Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função quadrática envolvendo o seno de
. Para resolver isso, vamos precisar expandir a expressão dentro do quadrado e integrar termo por termo.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o quadrado dentro da integral. Sabemos que
. Aplicando isso à nossa expressão:
Agora, nossa integral fica:
Passo 3
Vamos separar a integral em três partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 4
Primeiro, a integral de
. Sabemos que podemos usar a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando termo por termo:
Passo 5
Agora, a integral de
:
Passo 6
E a integral de
:
Passo 7
Agora, juntando tudo e aplicando os limites de integração de
a
:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 8
Calculando
de
a
:
Simplificando os senos:
Substituindo:
Passo 9
Calculando
de
a
:
Passo 10
Calculando
de
a
:
Passo 11
Agora, somando todas as partes:
Resposta
O valor da integral é
.