integralpi6^5 pi6(sen(x)-12)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integralpi6^5 pi6(sin(x)-12)^2 dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função quadrática envolvendo o seno de x. Para resolver isso, vamos precisar expandir a expressão dentro do quadrado e integrar termo por termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado dentro da integral. Sabemos que (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Aplicando isso à nossa expressão:
(sin(x) - 12)^2 = sin^2(x) - sin(x) + 14
Agora, nossa integral fica:
integralpi6^5 pi6 ( sin^2(x) - sin(x) + 14 ) dx

Passo 3

Vamos separar a integral em três partes para facilitar:
integralpi6^5 pi6 sin^2(x) dx - integralpi6^5 pi6 sin(x) dx + integralpi6^5 pi6 14 dx
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 4

Primeiro, a integral de sin^2(x). Sabemos que podemos usar a identidade trigonométrica:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Então:
integral sin^2(x) dx = integral 1 - cos(2x)2 dx = 12 integral 1 dx - 12 integral cos(2x) dx
Integrando termo por termo:
12 x - 14 sin(2x) + C

Passo 5

Agora, a integral de sin(x):
integral sin(x) dx = -cos(x) + C

Passo 6

E a integral de 14:
integral 14 dx = 14 x + C

Passo 7

Agora, juntando tudo e aplicando os limites de integração de pi6 a 5pi6:
[ 12 x - 14 sin(2x) ]pi6^5pi6 - [ -cos(x) ]pi6^5pi6 + [ 14 x ]pi6^5pi6
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 8

Calculando 12 x - 14 sin(2x) de pi6 a 5pi6:
( 12 cdot 5pi6 - 14 sin(10pi6) ) - ( 12 cdot pi6 - 14 sin(2pi6) )
Simplificando os senos:
sin(10pi6) = sin(5pi3) = -raiz32
sin(2pi6) = sin(pi3) = raiz32
Substituindo:
( 5pi12 - 14 cdot (-raiz32) ) - ( pi12 - 14 cdot raiz32 ) = 5pi12 + raiz38 - pi12 + raiz38 = 4pi12 + raiz34 = pi3 + raiz34

Passo 9

Calculando -cos(x) de pi6 a 5pi6:
- [ cos(5pi6) - cos(pi6) ] = - [ -raiz32 - raiz32 ] = - [ -raiz3 ] = raiz3

Passo 10

Calculando 14 x de pi6 a 5pi6:
14 cdot 5pi6 - 14 cdot pi6 = 5pi24 - pi24 = 4pi24 = pi6

Passo 11

Agora, somando todas as partes:
( pi3 + raiz34 ) + raiz3 + pi6 = pi3 + pi6 + raiz34 + raiz3 = pi2 + 5raiz34

Resposta

O valor da integral é pi2 + 5raiz34.

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