Resolva os PVI’s:
\left[x+(x y)^{1 / 2}\right] \frac{d y}{d x}+x-y=x^{-1 / 2} y^{3 / 2}, \quad y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\left[x+(x y)^{1/2}\right]\frac{dy}{dx}+x-y=x^{-1/2}y^{3/2}, \qquad y(1)=1.
O que se pede é encontrar a função y(x) (no máximo implicitamente) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial em x=1. As informações relevantes são: a equação diferencial e a condição y(1)=1.

Passo 2

Vou olhar para a equação e tentar detectar um troque/variável que simplifique as partes com raízes. Repare que aparecem (x y)^{1/2} e x^{-1/2}y^{3/2}. Isso sugere trabalhar com a razão y/x na forma de raiz quadrada. Proponho a substituição
z(x)=\left(\frac{y(x)}{x}\right)^{1/2},
ou seja, escrever y como
y=x z^2.
Antes de aplicar a substituição, noto que a condição inicial dá y(1)=1, então em x=1 temos z(1)=(1/1)^{1/2}=1. Também assumimos x>0 e y\ge0 na vizinhança do ponto inicial para as raízes estarem bem definidas; isso é coerente com x=1,y=1.

Passo 3

Calculemos dy/dx em termos de z e z'. Como y=x z^2,
\frac{dy}{dx} = z^2 + x\cdot 2z\frac{dz}{dx} = z^2 + 2x z z'.
Aqui z'=\dfrac{dz}{dx}. Explicando: derivada de x z^2 usa produto: derivada de x é 1 vezes z^2 mais x vezes derivada de z^2, que é 2z z'.

Passo 4

Expresso também as outras quantidades em z:
(xy)^{1/2} = \sqrt{x\cdot (x z^2)} = \sqrt{x^2 z^2} = x z,
pois x>0 e z\ge0 no nosso contexto.
E
x^{-1/2}y^{3/2} = x^{-1/2}(x z^2)^{3/2} = x^{-1/2}\,x^{3/2} z^3 = x z^3.
Mostrei passo a passo: elevar x z^2 a 3/2 x^{3/2} z^3; multiplicando por x^{-1/2} sobra x.

Passo 5

Agora substituo y=x z^2, \frac{dy}{dx}=z^2+2x z z', (x y)^{1/2}=x z e x^{-1/2}y^{3/2}=x z^3 na equação original:
\bigl[x + x z\bigr]\bigl(z^2 + 2x z z'\bigr) + x - x z^2 = x z^3.
Factorizando x em x+x z obtemos x(1+z). Desenvolvendo os termos:
x(1+z)z^2 + x(1+z)2x z z' + x - x z^2 = x z^3.
Agora junte os termos x(1+z)z^2 e -x z^2:
x(1+z)z^2 - x z^2 = x z^3,
portanto a igualdade fica
x z^3 + x(1+z)2x z z' + x = x z^3.
Cancelam-se os x z^3 dos dois lados, restando
2x^2 z(1+z) z' + x = 0.

Passo 6

Simplifico a equação dividindo por x (lembrando x>0):
2x z(1+z) z' + 1 = 0.
Isolando z',
z' = -\frac{1}{2x z(1+z)}.
Isto é uma equação diferencial separável. Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por 2 z(1+z)\,dz e por dx/x:
2 z(1+z)\,dz = -\frac{dx}{x}.

Passo 7

Integro os dois lados. Primeiro o lado esquerdo:
2 z(1+z) = 2(z + z^2),
então
\int 2 z(1+z)\,dz = 2\int (z + z^2)\,dz = 2\left(\frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3}\right) = z^2 + \frac{2}{3}z^3.
O lado direito integra para
\int -\frac{dx}{x} = -\ln x + C,
onde C é constante de integração. Assim obtemos a solução implícita para z:
z^2 + \frac{2}{3}z^3 = -\ln x + C.

Passo 8

Use a condição inicial para encontrar C. Em x=1 temos y(1)=1, logo z(1)=\sqrt{y(1)/1}=1. Substituindo z=1 e x=1:
1^2 + \frac{2}{3}1^3 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} = -\ln 1 + C = 0 + C.
Portanto C=\dfrac{5}{3}.

Passo 9

Voltando à variável y usando z=(y/x)^{1/2}, a solução implícita final é
\frac{y}{x} + \frac{2}{3}\left(\frac{y}{x}\right)^{3/2} = -\ln x + \frac{5}{3},
válida na vizinhança do ponto x=1 com x>0 e y\ge0. Esta é a expressão que determina y(x) implicitamente; obter y explicitamente exigiria resolver uma equação cúbica em (y/x)^{1/2}, o que não é necessário aqui.

Resposta

\frac{y}{x}+\frac{2}{3}\left(\frac{y}{x}\right)^{3/2}=-\ln x+\frac{5}{3}

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