Resolva os PVI’s:
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
O que se pede é encontrar a função
(no máximo implicitamente) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial em
. As informações relevantes são: a equação diferencial e a condição
.
Passo 2
Vou olhar para a equação e tentar detectar um troque/variável que simplifique as partes com raízes. Repare que aparecem
e
. Isso sugere trabalhar com a razão
na forma de raiz quadrada. Proponho a substituição
ou seja, escrever
como
Antes de aplicar a substituição, noto que a condição inicial dá
, então em
temos
. Também assumimos
e
na vizinhança do ponto inicial para as raízes estarem bem definidas; isso é coerente com
.
Passo 3
Calculemos
em termos de
e
. Como
,
Aqui
. Explicando: derivada de
usa produto: derivada de
é
vezes
mais
vezes derivada de
, que é
.
Passo 4
Expresso também as outras quantidades em
:
pois
e
no nosso contexto.
E
E
Mostrei passo a passo: elevar
a
dá
; multiplicando por
sobra
.
Passo 5
Agora substituo
,
,
e
na equação original:
Factorizando
em
obtemos
. Desenvolvendo os termos:
Agora junte os termos
e
:
portanto a igualdade fica
Cancelam-se os
dos dois lados, restando
Passo 6
Simplifico a equação dividindo por
(lembrando
):
Isolando
,
Isto é uma equação diferencial separável. Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
:
Passo 7
Integro os dois lados. Primeiro o lado esquerdo:
então
O lado direito integra para
onde
é constante de integração. Assim obtemos a solução implícita para
:
Passo 8
Use a condição inicial para encontrar
. Em
temos
, logo
. Substituindo
e
:
Portanto
.
Passo 9
Voltando à variável
usando
, a solução implícita final é
válida na vizinhança do ponto
com
e
. Esta é a expressão que determina
implicitamente; obter
explicitamente exigiria resolver uma equação cúbica em
, o que não é necessário aqui.