Calcule a curvatura e a torçào das seguintes curvas:
\lambda(t)=(t, \operatorname{cosh} (t), \operatorname{sinh} (t))

Passo 1

O enunciado dá a curva \lambda(t)=(t,\operatorname{cosh} t,\operatorname{sinh} t) e pede duas coisas:
  • Calcular a curvatura \kappa(t).
  • Calcular a torção \tau(t).
Informações que temos (tudo vindo do enunciado):
  • A função vetorial \lambda é dada por \lambda(t)=(t,\operatorname{cosh} t,\operatorname{sinh} t).
  • Não há restrição explícita sobre t, então tratamos t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas que usaremos (e explicar o que cada coisa significa).
  • Derivadas: \lambda'(t) é o vetor velocidade, \lambda''(t) é a aceleração, \lambda'''(t) é a derivada de ordem três.
  • Curvatura: a curvatura mede quão “curva” é a trajetória e é dada por
\kappa(t)=\frac{\|\lambda'(t)\times\lambda''(t)\|}{\|\lambda'(t)\|^{3}}.
Aqui \times é o produto vetorial em \mathbb{R}^3 e \|\cdot\| é a norma euclidiana.
  • Torção: a torção mede a tendência da curva sair do plano da curvatura; uma fórmula prática é
\tau(t)=\frac{(\lambda'(t)\times\lambda''(t))\cdot\lambda'''(t)}{\|\lambda'(t)\times\lambda''(t)\|^{2}},
onde \cdot é o produto escalar.
Antes de aplicar as fórmulas, calculamos \lambda',\lambda'',\lambda'''.

Passo 3

Derivadas da curva (calcular passo a passo):
  • Primeira derivada:
\lambda'(t)=\bigl(1,\operatorname{sinh} t,\operatorname{cosh} t\bigr).
  • Segunda derivada:
\lambda''(t)=\bigl(0,\operatorname{cosh} t,\operatorname{sinh} t\bigr).
  • Terceira derivada:
\lambda'''(t)=\bigl(0,\operatorname{sinh} t,\operatorname{cosh} t\bigr).
Cada componente foi derivada normalmente: \tfrac{d}{dt}t=1, \tfrac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t, \tfrac{d}{dt}\operatorname{sinh} t=\operatorname{cosh} t.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \lambda'(t)\times\lambda''(t) detalhadamente.
Escrevendo \operatorname{sinh} t=:s e \operatorname{cosh} t=:c para simplificar notação temporária, temos \lambda'=(1,s,c) e \lambda''=(0,c,s). O produto vetorial em coordenadas é o determinante:
\lambda'\times\lambda''= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & s & c \\\\ 0 & c & s \end{vmatrix}.
Expandindo:
\lambda'\times\lambda''=\mathbf{i}(s\cdot s - c\cdot c)-\mathbf{j}(1\cdot s - 0\cdot c)+\mathbf{k}(1\cdot c - 0\cdot s).
Portanto, usando s^2-c^2=-(c^2-s^2) e a identidade hiperbólica c^2-s^2=1,
\lambda'\times\lambda''=\bigl(s^2-c^2,\,-s,\,c\bigr)=\bigl(-1,\,-\operatorname{sinh} t,\,\operatorname{cosh} t\bigr).
(Observe que s^2-c^2=-1 porque c^2-s^2=1.)

Passo 5

Calcular as normas necessárias.
  • Norma de \lambda'(t):
\|\lambda'(t)\|^{2}=1^{2}+\operatorname{sinh}^{2}t+\operatorname{cosh}^{2}t.
Usando \operatorname{cosh}^{2}t+\operatorname{sinh}^{2}t=\operatorname{cosh}(2t) e também a identidade \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1, é prático reescrever
\|\lambda'(t)\|^{2}=1+\bigl(\operatorname{cosh}^{2}t+\operatorname{sinh}^{2}t\bigr)=1+\operatorname{cosh}(2t).
Mas uma forma ainda mais simples é usar \operatorname{cosh}^{2}t+\operatorname{sinh}^{2}t=2\operatorname{cosh}^{2}t-1, então
\|\lambda'(t)\|^{2}=1+(2\operatorname{cosh}^{2}t-1)=2\operatorname{cosh}^{2}t.
Logo
\|\lambda'(t)\|=\sqrt{2}\,\operatorname{cosh} t,
já que \operatorname{cosh} t>0 para todo t.
  • Norma de \lambda'(t)\times\lambda''(t):
\|\lambda'(t)\times\lambda''(t)\|^{2}=(-1)^{2}+(-\operatorname{sinh} t)^{2}+(\operatorname{cosh} t)^{2} =1+\operatorname{sinh}^{2}t+\operatorname{cosh}^{2}t.
Repare que é exatamente a mesma soma anterior, então
\|\lambda'(t)\times\lambda''(t)\|^{2}=2\operatorname{cosh}^{2}t,
e assim
\|\lambda'(t)\times\lambda''(t)\|=\sqrt{2}\,\operatorname{cosh} t.

Passo 6

Calcular a curvatura \kappa(t) usando a fórmula e as normas que obtivemos.
A fórmula:
\kappa(t)=\frac{\|\lambda'(t)\times\lambda''(t)\|}{\|\lambda'(t)\|^{3}}.
Substituindo \|\lambda'(t)\times\lambda''(t)\|=\sqrt{2}\operatorname{cosh} t e \|\lambda'(t)\|=\sqrt{2}\operatorname{cosh} t,
\kappa(t)=\frac{\sqrt{2}\operatorname{cosh} t}{\bigl(\sqrt{2}\operatorname{cosh} t\bigr)^{3}} =\frac{\sqrt{2}\operatorname{cosh} t}{2^{3/2}\operatorname{cosh}^{3}t} =\frac{1}{2}\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}t}.
Portanto uma forma conveniente é
\kappa(t)=\frac{1}{2\operatorname{cosh}^{2}t}=\frac{1}{2}\operatorname{sech}^{2}t.

Passo 7

Calcular a torção \tau(t).
Usamos a fórmula
\tau(t)=\frac{(\lambda'(t)\times\lambda''(t))\cdot\lambda'''(t)}{\|\lambda'(t)\times\lambda''(t)\|^{2}}.
Já temos \lambda'(t)\times\lambda''(t)=(-1,-\operatorname{sinh} t,\operatorname{cosh} t) e \lambda'''(t)=(0,\operatorname{sinh} t,\operatorname{cosh} t). O produto escalar no numerador é
(\lambda'\times\lambda'')\cdot\lambda''' = (-1)\cdot 0 + (-\operatorname{sinh} t)\cdot\operatorname{sinh} t + (\operatorname{cosh} t)\cdot\operatorname{cosh} t = -\operatorname{sinh}^{2}t + \operatorname{cosh}^{2}t.
Usando \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1, concluímos que o numerador vale 1.
O denominador já foi calculado: \|\lambda'\times\lambda''\|^{2}=2\operatorname{cosh}^{2}t.
Portanto
\tau(t)=\frac{1}{2\operatorname{cosh}^{2}t}=\frac{1}{2}\operatorname{sech}^{2}t.

Passo 8

Observação final curta (motivacional): curioso e útil notar que, para essa curva, curvatura e torção coincidem em cada t: \kappa(t)=\tau(t). Isso pode facilitar algumas interpretações geométricas se for preciso usar na prova.

Resposta

\kappa(t)=\dfrac{1}{2\operatorname{cosh}^{2}t}
\tau(t)=\dfrac{1}{2\operatorname{cosh}^{2}t}

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