Cada componente foi derivada normalmente: \tfrac{d}{dt}t=1, \tfrac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t, \tfrac{d}{dt}\operatorname{sinh} t=\operatorname{cosh} t.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \lambda'(t)\times\lambda''(t) detalhadamente.
Escrevendo \operatorname{sinh} t=:s e \operatorname{cosh} t=:c para simplificar notação temporária, temos \lambda'=(1,s,c) e \lambda''=(0,c,s). O produto vetorial em coordenadas é o determinante:
\lambda'\times\lambda''= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & s & c \\\\ 0 & c & s \end{vmatrix}.
Expandindo:
\lambda'\times\lambda''=\mathbf{i}(s\cdot s - c\cdot c)-\mathbf{j}(1\cdot s - 0\cdot c)+\mathbf{k}(1\cdot c - 0\cdot s).
Portanto, usando s^2-c^2=-(c^2-s^2) e a identidade hiperbólica c^2-s^2=1,
Usando \operatorname{cosh}^{2}t+\operatorname{sinh}^{2}t=\operatorname{cosh}(2t) e também a identidade \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1, é prático reescrever
Já temos \lambda'(t)\times\lambda''(t)=(-1,-\operatorname{sinh} t,\operatorname{cosh} t) e \lambda'''(t)=(0,\operatorname{sinh} t,\operatorname{cosh} t). O produto escalar no numerador é
(\lambda'\times\lambda'')\cdot\lambda''' = (-1)\cdot 0 + (-\operatorname{sinh} t)\cdot\operatorname{sinh} t + (\operatorname{cosh} t)\cdot\operatorname{cosh} t = -\operatorname{sinh}^{2}t + \operatorname{cosh}^{2}t.
Usando \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1, concluímos que o numerador vale 1.
O denominador já foi calculado: \|\lambda'\times\lambda''\|^{2}=2\operatorname{cosh}^{2}t.
Observação final curta (motivacional): curioso e útil notar que, para essa curva, curvatura e torção coincidem em cada t: \kappa(t)=\tau(t). Isso pode facilitar algumas interpretações geométricas se for preciso usar na prova.