Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite, se existir, ou mostrar que não existe, do seguinte quociente quando
tende a
:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função a considerar é
definida onde . - O ponto de interesse é
. Note que a expressão não depende de ; portanto o comportamento na vizinhança de em é o mesmo que olhar para no plano (para qualquer valor de próximo de ). - O que é pedido: decidir se existe um limite finito quando
. Se houver um valor único para todas as maneiras de se aproximar, esse é o limite; se houver aproximações que dão valores diferentes (incluindo divergência para ), então o limite não existe.
Passo 2
Estratégia didática (o que vamos testar):
- Testar limites ao longo de caminhos simples (eixos coordenados) para ver se já aparecem diferenças.
- Usar coordenadas polares/cilíndricas (
) para analisar o comportamento geral quando a distância ao origem varia e como depende do ângulo .
Explicação rápida do motivo: em limites de funções de várias variáveis, se duas trajetórias que tendem ao mesmo ponto produzem valores distintos (incluindo um que diverge), então o limite não existe. Coordenadas polares ajudam a separar a ordem emda dependência angular.
Passo 3
Limite ao longo do eixo
(ou seja, aproximando por pontos
com
):
- Se
e ,
- Portanto, ao aproximar por
com , o valor da função é constante igual a , e assim
Comentário didático: esse caminho mostra que é possível obter o valor
ao se aproximar da origem; se o limite total existisse e fosse finito, teria que ser esse mesmo valor em qualquer outro caminho também.
Passo 4
Limite ao longo do eixo
(aproximando por pontos
com
):
- Se
e ,
- Quando
temos . - Portanto, ao aproximar por
com ,
Comentário didático: este caminho mostra comportamento não limitado (divergência para
). Já temos dois comportamentos distintos: um caminho dá
, outro diverge para
. Isso por si só é suficiente para concluir que o limite total não existe (não há um único valor finito).
Passo 5
Análise em coordenadas polares (mostrando de forma geral por que ocorre a divergência):
- Passe para coordenadas no plano:
com e . Aqui é a distância ao origem; o limite corresponde a (o pode ser tratado separadamente, mas a função não depende de ). - Substituindo na expressão:
- Portanto, para
,
- Observação crucial: o termo
diverge para quando , exceto quando (isto é, quando ou modulo , que correspondem às direções ). Assim: - Se
(por exemplo , direção ), o termo domina e a expressão tende a quando . - Se
(direção ), o termo singular some e a expressão reduz a . Para temos e o valor é (coincide com o resultado do passo 3).
- Se
- Essa análise mostra de forma clara e geral por que há divergência para a maioria das direções e um valor diferente (finito) apenas em direções especiais.
Passo 6
Conclusão lógica e interpretação final:
- Encontramos pelo menos duas aproximações da origem que produzem comportamentos incompatíveis: pela reta
o valor tende a ; pela reta (ou qualquer direção com ) a expressão tende a . - Como não existe um único valor limite (nem finito nem mesmo
consistente para todas as trajetórias), o limite em não existe. - Comentário final de incentivo: quando ver termos de ordens diferentes em
ao passar para coordenadas polares, fique atento para termos do tipo com — eles costumam indicar divergência a menos que o fator angular anule exatamente o termo para todas as direções.
Resposta
O limite não existe.