Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x^{4}+y^{2}+2 x y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite, se existir, ou mostrar que não existe, do seguinte quociente quando (x,y,z) tende a (0,0,0):
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{x^{4}+y^{2}+2xy^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função a considerar é \displaystyle f(x,y,z)=\frac{x^{4}+y^{2}+2xy^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} definida onde \left(x^{2}+y^{2}\right)\neq 0.
  • O ponto de interesse é (0,0,0). Note que a expressão não depende de z; portanto o comportamento na vizinhança de (0,0,0) em \mathbb{R}^3 é o mesmo que olhar para (x,y)\to(0,0) no plano (para qualquer valor de z próximo de 0).
  • O que é pedido: decidir se existe um limite finito quando (x,y,z)\to(0,0,0). Se houver um valor único para todas as maneiras de se aproximar, esse é o limite; se houver aproximações que dão valores diferentes (incluindo divergência para \pm\infty), então o limite não existe.

Passo 2

Estratégia didática (o que vamos testar):
  • Testar limites ao longo de caminhos simples (eixos coordenados) para ver se já aparecem diferenças.
  • Usar coordenadas polares/cilíndricas ( x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta) para analisar o comportamento geral quando a distância ao origem \;r\to0+\; varia e como depende do ângulo \theta.
    Explicação rápida do motivo: em limites de funções de várias variáveis, se duas trajetórias que tendem ao mesmo ponto produzem valores distintos (incluindo um que diverge), então o limite não existe. Coordenadas polares ajudam a separar a ordem em r da dependência angular.

Passo 3

Limite ao longo do eixo y=0 (ou seja, aproximando por pontos (x,0,0) com x\to0):
  • Se y=0 e x\neq0,
\frac{x^{4}+y^{2}+2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{x^{4}}{(x^{2})^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{4}} = 1.
  • Portanto, ao aproximar por (x,0,0) com x\to0, o valor da função é constante igual a 1, e assim
\lim_{(x,0,0)\to(0,0,0)} \frac{x^{4}+y^{2}+2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = 1.
Comentário didático: esse caminho mostra que é possível obter o valor 1 ao se aproximar da origem; se o limite total existisse e fosse finito, teria que ser esse mesmo valor em qualquer outro caminho também.

Passo 4

Limite ao longo do eixo x=0 (aproximando por pontos (0,y,0) com y\to0):
  • Se x=0 e y\neq0,
\frac{x^{4}+y^{2}+2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{y^{2}}{(y^{2})^{2}} = \frac{y^{2}}{y^{4}} = \frac{1}{y^{2}}.
  • Quando y\to0 temos \dfrac{1}{y^{2}}\to +\infty.
  • Portanto, ao aproximar por (0,y,0) com y\to0,
\lim_{(0,y,0)\to(0,0,0)} \frac{x^{4}+y^{2}+2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = +\infty.
Comentário didático: este caminho mostra comportamento não limitado (divergência para +\infty). Já temos dois comportamentos distintos: um caminho dá 1, outro diverge para +\infty. Isso por si só é suficiente para concluir que o limite total não existe (não há um único valor finito).

Passo 5

Análise em coordenadas polares (mostrando de forma geral por que ocorre a divergência):
  • Passe para coordenadas no plano: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta com r\ge0 e \theta\in\mathbb{R}. Aqui r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância ao origem; o limite (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to0+ (o z pode ser tratado separadamente, mas a função não depende de z).
  • Substituindo na expressão:
\text{numerador}=x^{4}+y^{2}+2xy^{3} = r^{4}\cos^{4}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta + 2r^{4}\cos\theta\sin^{3}\theta.
\text{denominador}=(x^{2}+y^{2})^{2}=(r^{2})^{2}=r^{4}.
  • Portanto, para r>0,
\frac{x^{4}+y^{2}+2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{r^{4}\cos^{4}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta + 2r^{4}\cos\theta\sin^{3}\theta}{r^{4}} = \cos^{4}\theta + \frac{\sin^{2}\theta}{r^{2}} + 2\cos\theta\sin^{3}\theta.
  • Observação crucial: o termo \dfrac{\sin^{2}\theta}{r^{2}} diverge para +\infty quando r\to0+, exceto quando \sin\theta=0 (isto é, quando \theta=0 ou \theta=\pi modulo 2\pi, que correspondem às direções y=0). Assim:
    • Se \sin\theta\neq0 (por exemplo \theta=\tfrac{\pi}{2}, direção x=0), o termo \dfrac{\sin^{2}\theta}{r^{2}} domina e a expressão tende a +\infty quando r\to0+.
    • Se \sin\theta=0 (direção y=0), o termo singular some e a expressão reduz a \cos^{4}\theta + 2\cos\theta\sin^{3}\theta. Para \theta=0 temos \cos\theta=1,\;\sin\theta=0 e o valor é 1 (coincide com o resultado do passo 3).
  • Essa análise mostra de forma clara e geral por que há divergência para a maioria das direções e um valor diferente (finito) apenas em direções especiais.

Passo 6

Conclusão lógica e interpretação final:
  • Encontramos pelo menos duas aproximações da origem que produzem comportamentos incompatíveis: pela reta y=0 o valor tende a 1; pela reta x=0 (ou qualquer direção com \sin\theta\neq0) a expressão tende a +\infty.
  • Como não existe um único valor limite (nem finito nem mesmo \pm\infty consistente para todas as trajetórias), o limite em (0,0,0) não existe.
  • Comentário final de incentivo: quando ver termos de ordens diferentes em r ao passar para coordenadas polares, fique atento para termos do tipo \dfrac{\text{constante}}{r^{k}} com k>0 — eles costumam indicar divergência a menos que o fator angular anule exatamente o termo para todas as direções.

Resposta

O limite não existe.

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