Verifique quais das equações a seguir são exatas. Em caso positivo, encontre sua solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que verifiquemos quais das equações são exatas e, se for exata, achemos a solução geral.
Informações relevantes fornecidas:
- Podemos identificar
e como os coeficientes multiplicando e , respectivamente: - O objetivo é verificar se existe uma função potencial
tal que e , e então obter a solução implícita .
Passo 2
Explicação do critério de exatidão (passo didático): uma equação do tipo
é exata se existir uma função
com
e
. Um teste prático — válido em domínios simples (sem buracos) — é comparar as derivadas parciais
Se
para todos os pontos do domínio considerado, a equação é exata. Aqui
significa: diferenciar
em relação a
tratando
como constante; análogo para
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais term a term e comparar.
Calcule
. Derivando
em relação a
:
Agora cada derivada:
Portanto
Calcule
. Derivando
em relação a
:
Cada derivada:
Logo
Comparando:
são iguais. Conclusão: a equação é exata.
Passo 4
Agora vamos achar a função potencial
tal que
. Para isso integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Integrando termo a termo (lembrando que
é constante aqui):
Somando e adicionando uma função arbitrária de
,
, que aparece porque a integração é em
:
Passo 5
Determinar
usando a condição
. Calcule
derivando a expressão encontrada em relação a
:
Derivadas term a term:
Portanto
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Assim
Isso implica
, logo
constante, que podemos incorporar na constante final da solução.
Passo 6
A função potencial completa (com
constante) é
onde
é constante. A solução geral implícita da equação exata é obtida ao igualar
a uma constante arbitrária
: