Verifique quais das equações a seguir são exatas. Em caso positivo, encontre sua solução geral.
\left(y^{3}-y^{2} \operatorname{sen} x-x\right) d x+\left(3 x y^{2}+2 y \cos x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y^{3}-y^{2}\sin x - x\right)\,dx + \left(3xy^{2}+2y\cos x\right)\,dy = 0
e pede que verifiquemos quais das equações são exatas e, se for exata, achemos a solução geral.
Informações relevantes fornecidas:
  • Podemos identificar M(x,y) e N(x,y) como os coeficientes multiplicando dx e dy, respectivamente: M(x,y)=y^{3}-y^{2}\sin x - x, \qquad N(x,y)=3xy^{2}+2y\cos x.
  • O objetivo é verificar se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \frac{\partial \varphi}{\partial x}=M e \frac{\partial \varphi}{\partial y}=N, e então obter a solução implícita \varphi(x,y)=C.

Passo 2

Explicação do critério de exatidão (passo didático): uma equação do tipo
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existir uma função \varphi(x,y) com \phi_x=M e \phi_y=N. Um teste prático — válido em domínios simples (sem buracos) — é comparar as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial N}{\partial x}.
Se \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} para todos os pontos do domínio considerado, a equação é exata. Aqui \frac{\partial M}{\partial y} significa: diferenciar M em relação a y tratando x como constante; análogo para \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais term a term e comparar.
Calcule \dfrac{\partial M}{\partial y}. Derivando M(y^3 - y^2\sin x - x) em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(y^{3}\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(y^{2}\sin x\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(x\right).
Agora cada derivada:
\frac{\partial}{\partial y}\left(y^{3}\right)=3y^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\left(y^{2}\sin x\right)=2y\sin x, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\left(x\right)=0.
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=3y^{2}-2y\sin x.
Calcule \dfrac{\partial N}{\partial x}. Derivando N(3xy^{2}+2y\cos x) em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(3xy^{2}\right) + \frac{\partial}{\partial x}\left(2y\cos x\right).
Cada derivada:
\frac{\partial}{\partial x}\left(3xy^{2}\right)=3y^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\left(2y\cos x\right)=2y\cdot(-\sin x)=-2y\sin x.
Logo
\frac{\partial N}{\partial x}=3y^{2}-2y\sin x.
Comparando:
\frac{\partial M}{\partial y}=3y^{2}-2y\sin x \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=3y^{2}-2y\sin x,
são iguais. Conclusão: a equação é exata.

Passo 4

Agora vamos achar a função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=M. Para isso integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int \left(y^{3}-y^{2}\sin x - x\right)\,dx.
Integrando termo a termo (lembrando que y é constante aqui):
\int y^{3}\,dx = x y^{3}, \qquad \int -y^{2}\sin x\,dx = -y^{2}\int \sin x\,dx = -y^{2}(-\cos x)=y^{2}\cos x,
\int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2}.
Somando e adicionando uma função arbitrária de y, h(y), que aparece porque a integração é em x:
\varphi(x,y)=x y^{3} + y^{2}\cos x - \frac{x^{2}}{2} + h(y).

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \phi_y=N. Calcule \phi_y derivando a expressão encontrada em relação a y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(x y^{3}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(y^{2}\cos x\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^{2}}{2}\right) + h'(y).
Derivadas term a term:
\frac{\partial}{\partial y}\left(x y^{3}\right)=3x y^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\left(y^{2}\cos x\right)=2y\cos x, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=0.
Portanto
\phi_y = 3x y^{2} + 2y\cos x + h'(y).
Mas sabemos que \phi_y deve ser igual a N(x,y)=3x y^{2}+2y\cos x. Assim
3x y^{2} + 2y\cos x + h'(y) = 3x y^{2} + 2y\cos x.
Isso implica h'(y)=0, logo h(y)= constante, que podemos incorporar na constante final da solução.

Passo 6

A função potencial completa (com h constante) é
\varphi(x,y)=x y^{3} + y^{2}\cos x - \frac{x^{2}}{2} + C_0,
onde C_0 é constante. A solução geral implícita da equação exata é obtida ao igualar \varphi(x,y) a uma constante arbitrária C:
x y^{3} + y^{2}\cos x - \frac{x^{2}}{2} = C.

Resposta

x y^{3} + y^{2}\cos x - \dfrac{x^{2}}{2} = C

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