Precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]
Passo 2
Observação da estratégia (explicada passo a passo): a razão \dfrac{x+y}{x-y} depende apenas da razão y/x (se dividirmos numerador e denominador por x aparece 1+(y/x) sobre 1-(y/x)). Nessas situações costuma funcionar a substituição
v=\dfrac{y}{x}.
Vou usar essa substituição e explicar cada passo. Primeiro, escrevo y e y' em termos de v e x. Como y=vx, usando a regra do produto (derivada de vx é v + x v'):
y = v x,\qquad y' = v + x\,\dfrac{dv}{dx}.
Passo 3
Faço a substituição da expressão de y na equação original. No lado direito:
Então a equação y'=\dfrac{x+y}{x-y} vira, usando y'=v+x v',
v + x\,\dfrac{dv}{dx}=\frac{1+v}{1-v}.
Passo 4
Isolo x\,\dfrac{dv}{dx}. Subtraio v dos dois lados:
x\,\dfrac{dv}{dx}=\frac{1+v}{1-v}-v.
Faço a combinação em uma única fração (explico a álgebra):
\frac{1+v}{1-v}-v=\frac{1+v - v(1-v)}{1-v} =\frac{1+v - v + v^2}{1-v}=\frac{1+v^2}{1-v}.
Portanto temos
x\,\dfrac{dv}{dx}=\frac{1+v^2}{1-v}.
Passo 5
Agora separo variáveis para integrar. Reescrevo para colocar todos os termos em v do lado esquerdo e os termos em x do lado direito:
\frac{1-v}{1+v^2}\,dv=\frac{dx}{x}.
Explico a separação: multiplicamos ambos os lados por \dfrac{1-v}{1+v^2} e dividimos por x, ficando com dv num lado e dx no outro, o que permite integrar.
Passo 6
Integro ambos os lados. Primeiro manipulo a integral à esquerda, escrevendo-a como soma de duas parcelas: