Resolva os PVI’s sabendo que são EDO’s homogêneas.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{x+y}{x-y} \\\ y(1)=2\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por
\begin{cases} y'=\dfrac{x+y}{x-y},\\[6pt] y(1)=2. \end{cases}
Informações dadas:
  • A equação diferencial é \;y'=\dfrac{x+y}{x-y}\;.
  • A condição inicial é \;y(1)=2\;.
  • Precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Observação da estratégia (explicada passo a passo): a razão \dfrac{x+y}{x-y} depende apenas da razão y/x (se dividirmos numerador e denominador por x aparece 1+(y/x) sobre 1-(y/x)). Nessas situações costuma funcionar a substituição
v=\dfrac{y}{x}.
Vou usar essa substituição e explicar cada passo. Primeiro, escrevo y e y' em termos de v e x. Como y=vx, usando a regra do produto (derivada de vx é v + x v'):
y = v x,\qquad y' = v + x\,\dfrac{dv}{dx}.

Passo 3

Faço a substituição da expressão de y na equação original. No lado direito:
\frac{x+y}{x-y}=\frac{x+vx}{x-vx}=\frac{1+v}{1-v}.
Então a equação y'=\dfrac{x+y}{x-y} vira, usando y'=v+x v',
v + x\,\dfrac{dv}{dx}=\frac{1+v}{1-v}.

Passo 4

Isolo x\,\dfrac{dv}{dx}. Subtraio v dos dois lados:
x\,\dfrac{dv}{dx}=\frac{1+v}{1-v}-v.
Faço a combinação em uma única fração (explico a álgebra):
\frac{1+v}{1-v}-v=\frac{1+v - v(1-v)}{1-v} =\frac{1+v - v + v^2}{1-v}=\frac{1+v^2}{1-v}.
Portanto temos
x\,\dfrac{dv}{dx}=\frac{1+v^2}{1-v}.

Passo 5

Agora separo variáveis para integrar. Reescrevo para colocar todos os termos em v do lado esquerdo e os termos em x do lado direito:
\frac{1-v}{1+v^2}\,dv=\frac{dx}{x}.
Explico a separação: multiplicamos ambos os lados por \dfrac{1-v}{1+v^2} e dividimos por x, ficando com dv num lado e dx no outro, o que permite integrar.

Passo 6

Integro ambos os lados. Primeiro manipulo a integral à esquerda, escrevendo-a como soma de duas parcelas:
\frac{1-v}{1+v^2}=\frac{1}{1+v^2}-\frac{v}{1+v^2}.
Então
\int\frac{1-v}{1+v^2}\,dv =\int\frac{1}{1+v^2}\,dv-\int\frac{v}{1+v^2}\,dv.
Calculo cada integral (dou a técnica):
  • \displaystyle\int\frac{1}{1+v^2}\,dv=\arctan(v) (fórmula conhecida).
  • Para \displaystyle\int\frac{v}{1+v^2}\,dv faço u=1+v^2, então du=2v\,dv, logo \int\frac{v}{1+v^2}\,dv=\tfrac{1}{2}\ln(1+v^2).
Portanto a integral à esquerda é
\arctan(v)-\frac{1}{2}\ln(1+v^2).
A integral da direita é
\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração. Juntando,
\arctan(v)-\frac{1}{2}\ln(1+v^2)=\ln|x|+C.

Passo 7

Volto da variável v para y lembrando que v=\dfrac{y}{x}. Então a solução geral implícita é
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln\!\left(1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\right)=\ln|x|+C.
Agora uso a condição inicial \;y(1)=2\;. Com x=1 e y=2 temos v(1)=2. Substituo na expressão para determinar C:
\arctan(2)-\frac{1}{2}\ln(1+2^2)=\ln|1|+C.
Como \ln|1|=0 e 1+2^2=5, obtemos
C=\arctan(2)-\frac{1}{2}\ln 5.

Passo 8

Substituo C na solução implícita e escrevo a resposta final (forma implícita que satisfaz o PVI):
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln\!\left(1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\right)=\ln|x|+\arctan(2)-\frac{1}{2}\ln 5.

Resposta

\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln\!\left(1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\right)=\ln|x|+\arctan(2)-\frac{1}{2}\ln 5.

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