Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função — isto é, uma função cuja derivada seja
. Nada mais foi dado, então vamos trabalhar com álgebra e integração direta.
Passo 2
Observação útil (sempre que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador): podemos escrever o numerador como um múltiplo exato do denominador mais um resto constante. Procuramos
e
tais que
Desenvolvendo
obtemos
. Igualando coeficientes em relação a
e ao termo constante:
coeficiente de :
.
termo constante: .
coeficiente de
termo constante:
Passo 3
Usando
e
reescrevemos o integrando:
Essa reescrita é chave: transformamos a fração numa soma mais simples que é fácil de integrar termo a termo.
Passo 4
Integramos termo a termo:
A primeira integral é direta: a primitiva de uma constante
é
pois a derivada de
é
.
Passo 5
Agora integramos
. Uma forma padrão é usar substituição ou lembrar a fórmula geral
Vou mostrar por substituição para ficar claro: faça
. Então
ou
. Assim
Voltando a
(substituindo
):
Observação rápida: usamos que
, por isso
.
Passo 6
Juntando as duas partes (e fundindo as constantes
e
numa única constante
), obtemos a primitiva geral: