Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{\mathbf{8} \boldsymbol{x}+\mathbf{5}}{\mathbf{2} \boldsymbol{x}+\mathbf{1}} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{8x+5}{2x+1}\,dx.
Informações dadas: o numerador é (8x+5) e o denominador é (2x+1). O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função — isto é, uma função cuja derivada seja \dfrac{8x+5}{2x+1}. Nada mais foi dado, então vamos trabalhar com álgebra e integração direta.

Passo 2

Observação útil (sempre que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador): podemos escrever o numerador como um múltiplo exato do denominador mais um resto constante. Procuramos A e B tais que
8x+5 = A(2x+1) + B.
Desenvolvendo A(2x+1) obtemos 2A x + A. Igualando coeficientes em relação a x e ao termo constante:
coeficiente de x: 8 = 2A \Rightarrow A=4.
termo constante: 5 = A + B \Rightarrow 5 = 4 + B \Rightarrow B=1.

Passo 3

Usando A=4 e B=1 reescrevemos o integrando:
\frac{8x+5}{2x+1} = \frac{4(2x+1)+1}{2x+1} = 4 + \frac{1}{2x+1}.
Essa reescrita é chave: transformamos a fração numa soma mais simples que é fácil de integrar termo a termo.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \left(4 + \frac{1}{2x+1}\right)\,dx = \int 4\,dx + \int \frac{1}{2x+1}\,dx.
A primeira integral é direta: a primitiva de uma constante 4 é
\int 4\,dx = 4x + C_1,
pois a derivada de 4x é 4.

Passo 5

Agora integramos \displaystyle \int \frac{1}{2x+1}\,dx. Uma forma padrão é usar substituição ou lembrar a fórmula geral
\int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C.
Vou mostrar por substituição para ficar claro: faça u=2x+1. Então du = 2\,dx ou dx = \dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C_2.
Voltando a x (substituindo u=2x+1):
\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2x+1| + C_2.
Observação rápida: usamos que \dfrac{d}{du}\ln|u|=\dfrac{1}{u}, por isso \int \dfrac{1}{u}\,du=\ln|u|+C.

Passo 6

Juntando as duas partes (e fundindo as constantes C_1 e C_2 numa única constante C), obtemos a primitiva geral:
4x + \frac{1}{2}\ln|2x+1| + C.

Resposta

4x+\dfrac{1}{2}\ln|2x+1|+C

Exercícios relacionados