Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
Informações fornecidas: a integranda é
e a variável de integração é
. Vou interpretar
como a função cotangente, ou seja
. O objetivo é obter uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica padrão que facilita integrar potências de cotangente. A identidade vem da relação pitagórica
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Dessa identidade isolamos
:
Aqui
é a cosecante, definida por
. Isso é útil porque
tem uma primitiva simples.
Passo 3
Substituímos a identidade na integral original:
Passo 4
Usamos linearidade da integral (soma e fator constante) para separar os termos:
A linearidade diz que
, com
constantes.
Passo 5
Agora precisamos das primitivas de
e de
.
A função tem derivada
. Portanto uma primitiva de
é
, pois ao derivar
obtemos
.
E uma primitiva de é
, porque
.
A função
E uma primitiva de
Passo 6
Substituindo as primitivas no passo anterior:
Simplificando:
Aqui
é a constante de integração.
Passo 7
Dica rápida para a prova: sempre que vir
ou
tente usar as identidades pitagóricas (
e
). Muitas integrais com quadrados de funções trigonométricas ficam bem mais fáceis assim.