Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int 5 . \operatorname{cotg}^{2}(x) . d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
\int 5\cdot \operatorname{cotg}^{2}(x)\,dx
Informações fornecidas: a integranda é 5\operatorname{cotg}^{2}(x) e a variável de integração é x. Vou interpretar \operatorname{cotg}(x) como a função cotangente, ou seja \cot(x). O objetivo é obter uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica padrão que facilita integrar potências de cotangente. A identidade vem da relação pitagórica \sin^2(x)+\cos^2(x)=1. Dividindo ambos os lados por \sin^2(x) obtemos
1+\cot^2(x)=\csc^2(x).
Dessa identidade isolamos \cot^2(x):
\cot^2(x)=\csc^2(x)-1.
Aqui \csc(x) é a cosecante, definida por \csc(x)=1/\sin(x). Isso é útil porque \csc^2(x) tem uma primitiva simples.

Passo 3

Substituímos a identidade na integral original:
\int 5\cdot \cot^2(x)\,dx = \int 5\bigl(\csc^2(x)-1\bigr)\,dx.

Passo 4

Usamos linearidade da integral (soma e fator constante) para separar os termos:
\int 5\bigl(\csc^2(x)-1\bigr)\,dx = 5\int \csc^2(x)\,dx - 5\int 1\,dx.
A linearidade diz que \int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx, com a,b constantes.

Passo 5

Agora precisamos das primitivas de \csc^2(x) e de 1.
A função \cot(x) tem derivada \dfrac{d}{dx}\cot(x)=-\csc^2(x). Portanto uma primitiva de \csc^2(x) é -\cot(x), pois ao derivar -\cot(x) obtemos \csc^2(x).
E uma primitiva de 1 é x, porque \dfrac{d}{dx}x=1.

Passo 6

Substituindo as primitivas no passo anterior:
5\int \csc^2(x)\,dx - 5\int 1\,dx = 5\bigl(-\cot(x)\bigr) - 5\bigl(x\bigr) + C.
Simplificando:
-5\cot(x) - 5x + C.
Aqui C é a constante de integração.

Passo 7

Dica rápida para a prova: sempre que vir \cot^2(x) ou \tan^2(x) tente usar as identidades pitagóricas ( 1+\cot^2=\csc^2 e 1+\tan^2=\operatorname{sec}^2). Muitas integrais com quadrados de funções trigonométricas ficam bem mais fáceis assim.

Resposta

-5\cot(x)-5x+C

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