Resolva os PVI’s a seguir utilizando transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 2y' + y = e^t,\quad y(0)=0,\;y'(0)=5
usando transformada de Laplace. Vamos precisar da tabela básica
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
e de inversões como \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)^n\}.

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados, temos
\mathcal{L}\{y''\}-2\mathcal{L}\{y'\}+\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{e^t\}.
Substituindo as fórmulas e as condições iniciais:
\bigl(s^2Y(s)-0 -5\bigr)\;-\;2\bigl(sY(s)-0\bigr)\;+\;Y(s) =\frac{1}{s-1}.
Agrupando Y(s):
(s^2-2s+1)\,Y(s)-5=\frac{1}{s-1} \quad\Longrightarrow\quad (s-1)^2Y(s)=\frac{1}{s-1}+5.

Passo 3

Isolando Y(s) e escrevendo sobre a mesma base (s-1):
Y(s) =\frac{\frac{1}{s-1}+5}{(s-1)^2} =\frac{1+5(s-1)}{(s-1)^3} =\frac{5s-4}{(s-1)^3}.
Para decompor, ponha u=s-1, então 5s-4=5(u+1)-4=5u+1, de modo que
Y(s)=\frac{5u+1}{u^3} =\frac{5}{u^2}+\frac{1}{u^3} =\frac{5}{(s-1)^2}+\frac{1}{(s-1)^3}.

Passo 4

Agora fazemos a inversa de cada termo usando
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)^2\}=t\,e^{at} e
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)^3\}=\tfrac{t^2}{2}e^{at}. Assim
y(t) =5\,\bigl(t\,e^{t}\bigr) +\frac{1}{2}\,t^2 e^{t} = e^{t}\Bigl(5t+\frac{t^2}{2}\Bigr).

Resposta

y(t)=e^{t}\Bigl(5t+\tfrac{t^2}{2}\Bigr).

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