Resolva os PVI’s a seguir utilizando transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y'' + 2y' + y = 0,\quad y(0)=1,\;y'(0)=1
e pede y(t) usando transformada de Laplace. O conteúdo aqui é transformada de Laplace de derivadas, em particular
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
além da linearidade e da inversão de transformada.

Passo 2

Aplicamos \mathcal{L} em cada termo da equação:
\mathcal{L}\{y''\}+2\,\mathcal{L}\{y'\}+\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituindo as fórmulas e as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=1, fica
\bigl(s^2Y(s)-s-1\bigr)+2\bigl(sY(s)-1\bigr)+Y(s)=0.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e em constantes, obtemos
(s^2+2s+1)\,Y(s)-(s+3)=0 \quad\Longrightarrow\quad (s+1)^2\,Y(s)=s+3.
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Y(s)=\frac{s+3}{(s+1)^2} =\frac{s+1}{(s+1)^2}+\frac{2}{(s+1)^2} =\frac{1}{s+1}+\frac{2}{(s+1)^2}.

Passo 4

Usamos as inversas conhecidas
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s+1}\Bigr\}=e^{-t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^2}\Bigr\}=t\,e^{-t}.
Portanto
y(t)=e^{-t}+2\,t\,e^{-t}=(1+2t)e^{-t}.

Resposta

y(t)=(1+2t)e^{-t}.

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