Resolva os PVI’s a seguir utilizando transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=t^{2} e^{3 t}, y(0)=2, y^{\prime}(0)=6

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y'' - 6y' + 9y = t^{2}e^{3t},\quad y(0)=2,\;y'(0)=6
e pede solução pelo método da transformada de Laplace. Vamos usar
L\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),\qquad L\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)
e a fórmula de translação
L\{t^{n}e^{at}\}(s)=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados e substituindo as condições iniciais:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot2-6\bigr)\;-\;6\bigl(sY(s)-2\bigr)\;+\;9Y(s) \;=\;L\{t^{2}e^{3t}\}(s).
Expandindo e reunindo termos em Y(s):
s^{2}Y(s)-2s-6-6sY(s)+12+9Y(s) \;=\;L\{t^{2}e^{3t}\}(s).

Passo 3

No lado esquerdo agrupamos:
(s^{2}-6s+9)\,Y(s)\;+\;(12-6-2s) \;=\;(s-3)^{2}Y(s)\;-\;2s+6.
No lado direito, aplicamos a fórmula de translação com n=2 e a=3:
L\{t^{2}e^{3t}\}(s)=\frac{2!}{(s-3)^{3}}=\frac{2}{(s-3)^{3}}.

Passo 4

Igualando os dois lados:
(s-3)^{2}Y(s)\;-\;2s+6 \;=\;\frac{2}{(s-3)^{3}}.
Isolando Y(s):
(s-3)^{2}Y(s) =\frac{2}{(s-3)^{3}}+2s-6 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{2}{(s-3)^{5}}+\frac{2s-6}{(s-3)^{2}}.

Passo 5

Note que 2s-6=2(s-3), logo
\frac{2s-6}{(s-3)^{2}} =\frac{2(s-3)}{(s-3)^{2}} =\frac{2}{s-3}.
Assim
Y(s)=\frac{2}{s-3}+\frac{2}{(s-3)^{5}}.

Passo 6

Invertemos a transformada termo a termo:
L^{-1}\Bigl\{\frac{2}{s-3}\Bigr\}(t)=2e^{3t}, \qquad L^{-1}\Bigl\{\frac{2}{(s-3)^{5}}\Bigr\}(t) =2\;\frac{t^{4}}{4!}\,e^{3t} =\frac{1}{12}\,t^{4}e^{3t}.
Somando, obtemos
y(t)=2e^{3t}+\frac{1}{12}\,t^{4}e^{3t} =e^{3t}\Bigl(2+\tfrac{t^{4}}{12}\Bigr).

Resposta

y(t)=e^{3t}\Bigl(2+\tfrac{t^{4}}{12}\Bigr).

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