Resolva os PVIs:
6.1 y^prime=(y+1) / x, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI y' = y + 1x com a condição inicial y(1)=0. O conteúdo envolvido é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-lo.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma padrão y' + P(x),y = Q(x). No nosso caso temos:
y' - 1xy = 1x
Logo P(x) = -tfrac1x e Q(x) = tfrac1x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) = expl(integral P(x),dxr):
mu(x) = expl(integral -1x,dxr) = e^-ln|x| = 1x

Passo 4

Multiplicamos toda a EDO por mu(x) para que o lado esquerdo vire a derivada do produto:
1xy' - 1x^2y = 1x^2 Longrightarrow l(yxr)' = 1x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
yx = integral 1x^2,dx = -1x + C
Daí y = xl(-tfrac1x + Cr) = -1 + Cx, que é a solução geral.

Passo 6

Impondo a condição inicial y(1)=0 em y = -1 + Cx: Substituindo x=1 e y=0 0 = -1 + C, logo C=1. Assim a solução particular é y(x) = x - 1.

Resposta

y(x) = x - 1

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