Resolva as quatro questões abaixo (use g=9,8 m / s^{2} ).
1- Um frasco volumétrico de Pirex ( \beta=9,60 \times 10^{-6}{ }^{\circ} C^{-1} )é calibrado a 20,0^{\circ} \mathrm{C}. Ele é preenchido até a marca de 100 mL com acetona \left(\beta=1,50 \times 10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}\right) a 35,0^{\circ} \mathrm{C}. Depois que o frasco é preenchido, a acetona resfria e o frasco esquenta, de forma que ambos chegam à temperatura de equilíbrio de 32,0^{\circ} \mathrm{C}. O conjunto então é resfriado de volta a 20,0^{\circ} \mathrm{C}. (a) Qual o volume da acetona quando ela resfria a 20,0^{\circ} \mathrm{C} ? (b) Na temperatura de 32,0^{\circ} \mathrm{C}, o nível da acetona está acima ou abaixo da marca de 100 mL do frasco? Explique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Capacidade nominal do frasco (calibrado a 20,0^\circ\mathrm{C}): V_0 = 100\\ \mathrm{mL}.
    • Coeficiente volumétrico do frasco (Pirex): \beta_{\rm frasco}=9{,}60\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • Coeficiente volumétrico da acetona: \beta_{\rm acetona}=1{,}50\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • Temperaturas envolvidas:
      • Temperatura de calibração (referência): T_0 = 20{,}0^\circ\mathrm{C}.
      • Temperatura da acetona no enchimento: T_1 = 35{,}0^\circ\mathrm{C}.
      • Temperatura de equilíbrio após troca de calor: T_{\rm eq} = 32{,}0^\circ\mathrm{C}.
      • Depois o conjunto é levado de volta a 20{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pergunta:
    • (a) Qual o volume da acetona quando ela resfria a 20{,}0^\circ\mathrm{C} (após todo o processo descrito)?
    • (b) Na temperatura de 32{,}0^\circ\mathrm{C}, o nível da acetona está acima ou abaixo da marca de 100\\ \mathrm{mL} do frasco? Explique.

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que vamos usar (explicadinho e passo a passo).
  • Quando um volume V sofre variação de temperatura \Delta T, o novo volume aproximado (para pequenas variações) é dado por
V(T_0+\Delta T)=V(T_0)\bigl(1+\beta\,\Delta T\bigr),
onde:
  • \beta é o coeficiente volumétrico de expansão térmica (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • V(T_0) é o volume à temperatura de referência T_0;
  • \Delta T é a diferença de temperatura ( T-T_0).
  • Importante: essa fórmula vale tanto para o volume do frasco (capacidade até a marca) quanto para o volume do líquido, cada um com seu \beta.
  • Estratégia para resolver:
    1. Determinar o volume real da cavidade do frasco até a marca quando o frasco estiver a 35{,}0^\circ\mathrm{C} — isso é o volume da acetona no momento do enchimento a 35{,}0^\circ\mathrm{C}.
    2. A partir desse volume inicial da acetona em 35{,}0^\circ\mathrm{C}, calcular seu volume quando atinge 32{,}0^\circ\mathrm{C}.
    3. Comparar o volume da acetona a 32{,}0^\circ\mathrm{C} com o volume que a cavidade do frasco tem a 32{,}0^\circ\mathrm{C} (ver se o nível está acima ou abaixo da marca).
    4. Finalmente, calcular o volume da acetona quando o conjunto é resfriado a 20{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Calcular o volume do frasco até a marca quando o frasco está a 35{,}0^\circ\mathrm{C}. Esse é o volume de acetona no enchimento.
  • A variação de temperatura relativa ao referencial 20{,}0^\circ\mathrm{C} é
\Delta T_{f1}=T_1-T_0=35{,}0-20{,}0=15{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Aplicando a fórmula de expansão volumétrica para o frasco:
V_{\rm frasco}(35{,}0^\circ\mathrm{C})=V_0\bigl(1+\beta_{\rm frasco}\,\Delta T_{f1}\bigr).
  • Substituindo números:
V_{\rm frasco}(35{,}0^\circ\mathrm{C})=100\\ \mathrm{mL}\bigl(1+9{,}60\times10^{-6}\cdot15{,}0\bigr).
  • Calculemos o termo:
9{,}60\times10^{-6}\cdot15{,}0=1{,}44\times10^{-4}.
  • Logo
V_{\rm frasco}(35{,}0^\circ\mathrm{C})=100\\ \mathrm{mL}\bigl(1+1{,}44\times10^{-4}\bigr)=100{,}0144\\ \mathrm{mL}.
Interpretação: ao encher até a marca com a acetona a 35{,}0^\circ\mathrm{C}, a massa (volume) de acetona colocada é V_{\rm acetona}(35)=100{,}0144\\ \mathrm{mL}.

Passo 4

Calcular o volume da acetona quando ela resfria de 35{,}0^\circ\mathrm{C} para 32{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • A variação de temperatura do líquido é
\Delta T_{\ell} = 32{,}0-35{,}0 = -3{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Aplicando a fórmula de expansão ao volume inicial V_{\rm acetona}(35)=100{,}0144\\ \mathrm{mL}:
V_{\rm acetona}(32{,}0^\circ\mathrm{C})=100{,}0144\\ \mathrm{mL}\bigl(1+\beta_{\rm acetona}\,\Delta T_{\ell}\bigr).
  • Substituindo \beta_{\rm acetona}=1{,}50\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} e \Delta T_{\ell}=-3{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}:
\beta_{\rm acetona}\,\Delta T_{\ell}=1{,}50\times10^{-4}\cdot(-3{,}0)=-4{,}50\times10^{-4}.
  • Portanto
V_{\rm acetona}(32{,}0^\circ\mathrm{C})=100{,}0144\\ \mathrm{mL}\bigl(1-4{,}50\times10^{-4}\bigr).
  • Multiplicando:
V_{\rm acetona}(32{,}0^\circ\mathrm{C}) \approx 100{,}0144\times0{,}99955 \approx 99{,}9694\\ \mathrm{mL}.

Passo 5

Calcular o volume da cavidade do frasco (até a marca) quando o frasco está a 32{,}0^\circ\mathrm{C}, para comparar com o volume da acetona a 32{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • A variação de temperatura do frasco desde 20{,}0^\circ\mathrm{C} é
\Delta T_{f2}=32{,}0-20{,}0=12{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Volume do frasco a 32{,}0^\circ\mathrm{C}:
V_{\rm frasco}(32{,}0^\circ\mathrm{C})=V_0\bigl(1+\beta_{\rm frasco}\,\Delta T_{f2}\bigr) =100\\ \mathrm{mL}\bigl(1+9{,}60\times10^{-6}\cdot12{,}0\bigr).
  • Calculemos o termo:
9{,}60\times10^{-6}\cdot12{,}0=1{,}152\times10^{-4}.
  • Logo
V_{\rm frasco}(32{,}0^\circ\mathrm{C})=100\\ \mathrm{mL}\bigl(1+1{,}152\times10^{-4}\bigr)=100{,}01152\\ \mathrm{mL}.

Passo 6

Comparação para responder (b): o nível da acetona está acima ou abaixo da marca a 32{,}0^\circ\mathrm{C}?
  • Temos:
    • Volume da acetona a 32{,}0^\circ\mathrm{C}: V_{\rm acetona}(32)\approx99{,}9694\\ \mathrm{mL}.
    • Volume que cabe até a marca a 32{,}0^\circ\mathrm{C}: V_{\rm frasco}(32)=100{,}01152\\ \mathrm{mL}.
  • Comparando: 99{,}9694\\ \mathrm{mL} < 100{,}01152\\ \mathrm{mL}. Portanto o nível está abaixo da marca.
  • Diferença (para ter noção): V_{\rm acetona}(32)-V_{\rm frasco}(32)\approx -0{,}0421\\ \mathrm{mL} (ou seja, cerca de 0{,}04\\ \mathrm{mL} abaixo).

Passo 7

Calcular o volume da acetona quando o conjunto é resfriado de volta a 20{,}0^\circ\mathrm{C} — resposta da alínea (a).
  • A acetona originalmente preenchida tem volume em 35{,}0^\circ\mathrm{C} igual a V_{\rm acetona}(35)=V_{\rm frasco}(35)=100{,}0144\\ \mathrm{mL} (veja Passo 3).
  • A variação total de temperatura da acetona do enchimento ( 35{,}0^\circ\mathrm{C}) até o final ( 20{,}0^\circ\mathrm{C}) é
\Delta T_{\rm total} = 20{,}0-35{,}0 = -15{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Assim, o volume final da acetona a 20{,}0^\circ\mathrm{C} é (aplicando a fórmula uma vez para a variação total):
V_{\rm acetona}(20{,}0^\circ\mathrm{C})=V_{\rm acetona}(35{,}0^\circ\mathrm{C})\bigl(1+\beta_{\rm acetona}\,\Delta T_{\rm total}\bigr).
  • Substituindo:
V_{\rm acetona}(20{,}0^\circ\mathrm{C})=100{,}0144\\ \mathrm{mL}\bigl(1+1{,}50\times10^{-4}\cdot(-15{,}0)\bigr).
1{,}50\times10^{-4}\cdot(-15{,}0)=-2{,}25\times10^{-3}.
V_{\rm acetona}(20{,}0^\circ\mathrm{C})=100{,}0144\\ \mathrm{mL}\bigl(1-0{,}00225\bigr)=100{,}0144\times0{,}99775.
  • Multiplicando:
V_{\rm acetona}(20{,}0^\circ\mathrm{C})\approx 99{,}7894\\ \mathrm{mL}.
  • Arredondando de forma compatível com os dados significativos, podemos escrever V_{\rm acetona}(20{,}0^\circ\mathrm{C})\approx99{,}79\\ \mathrm{mL} (ou 99{,}8\\ \mathrm{mL}).

Resposta

(a) V_{\rm acetona}(20{,}0^\circ\mathrm{C})\approx99{,}79\\ \mathrm{mL}.
(b) A 32{,}0^\circ\mathrm{C} o nível está abaixo da marca de 100\\ \mathrm{mL} (diferença ≈ -0{,}042\\ \mathrm{mL}).

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