Resolva em R as inequações abaixo:
(h) |x + 2| + |2x - 2| > x + 8.

Passo 1

Aqui a gente tem uma inequação com valor absoluto: . A matéria que estamos usando é a de inequações com valor absoluto. Para resolver, vamos precisar analisar os diferentes casos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos são iguais a zero, ou seja, onde e . Resolvendo essas equações:
  • x = 1
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos que vamos analisar separadamente.

Passo 3

Caso 1:
Nessa faixa, e . Então, os valores absolutos ficam:
Substituindo na inequação:
Simplificando:
(dividindo por -4 e invertendo a desigualdade)
Como já estamos considerando , essa solução é válida para todo esse intervalo.

Passo 4

Caso 2:
Aqui, e . Então:
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Mas nesse caso, estamos no intervalo . A condição não se encaixa aqui, então não há soluções neste caso.

Passo 5

Caso 3: x ≥ 1
Nesse intervalo, e . Assim:
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Como estamos considerando x ≥ 1, a solução válida é .

Resposta

As soluções da inequação são todos os números reais tais que ou .

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