Resolva em R as inequações abaixo:
(f) |x - 2| - |x - 3| > x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a inequação nos números reais ( ). Aqui, estamos lidando com desigualdades que envolvem valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores absolutos se comportam e dividir o problema em casos, dependendo dos valores de .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Ou seja, vamos encontrar os valores de que fazem com que e .
Resolvendo:
Então, os pontos críticos são e . Esses pontos vão dividir a linha dos números reais em três intervalos distintos que vamos analisar separadamente.

Passo 3

Vamos dividir o problema em três casos, de acordo com os intervalos determinados pelos pontos críticos:
  1. Caso 1:
  2. Caso 2:
  3. Caso 3:
Em cada intervalo, a expressão dentro do valor absoluto será positiva ou negativa, o que simplifica a resolução.

Passo 4

Caso 1:
Neste intervalo:
  • , então
  • , então
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Então, a solução neste caso é .

Passo 5

Caso 2:
Neste intervalo:
  • , então
  • , então
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Mas lembre-se que estamos no intervalo . A condição não se aplica aqui, então não há soluções neste caso.

Passo 6

Caso 3:
Neste intervalo:
  • , então
  • , então
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Isso implica que . Porém, estamos considerando , então não há soluções neste caso também.

Resposta

A solução da inequação é .

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