Resolva em R as inequações abaixo:
(e) raiz(x + 1) < 2 + raiz(x - 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a seguinte inequação em números reais:
Aqui, estamos trabalhando com inequações que envolvem raízes quadradas. Para resolver, precisamos garantir que as expressões dentro das raízes sejam não negativas. Então, vamos precisar determinar o domínio da inequação antes de seguir adiante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da inequação, ou seja, os valores de que tornam as expressões dentro das raízes válidas.
  1. Para existir, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
  2. Para existir:
Como precisamos que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo, o domínio da inequação é:

Passo 3

Agora que sabemos que deve ser pelo menos 4, vamos resolver a inequação:
Uma estratégia útil aqui é isolar uma das raízes para facilitar a resolução. Vamos começar subtraindo de ambos os lados:

Passo 4

Para eliminar as raízes, vamos elevar ambos os lados ao quadrado. Mas atenção: ao fazer isso, precisamos garantir que as expressões sejam positivas, o que já está assegurado pelo nosso domínio .
Elevando ao quadrado:
Calculando o lado esquerdo:
Simplificando:

Passo 5

Vamos isolar a raiz quadrada novamente:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora, vamos elevar novamente ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando o lado esquerdo:
Subtraindo de ambos os lados:
Levando todos os termos para o lado esquerdo:
Isolando :
Dividindo ambos os lados por -4 (lembre que ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte o sentido):

Resposta

A solução da inequação é todo número real tal que:

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