Resolva em R a seguinte equação:
\frac{2^{x}+10}{4}=\frac{9}{2^{x-2}}\

Passo 1

O enunciado nos dá a equação \frac{2^{x} + 10}{4} = \frac{9}{2^{x-2}} e pede as soluções em \mathbb{R}. O conteúdo aqui é equação exponencial, e vamos usar manipulações algébricas e troca de variável para transformar em uma equação polinomial.

Passo 2

Reescrevemos o lado direito:
\frac{9}{2^{x-2}} = 9\cdot 2^{-(x-2)} = 9\cdot 2^{2-x} = 36\cdot 2^{-x}.
Multiplicando ambos os lados da equação original por 4, obtemos
2^{x} + 10 = 144\cdot 2^{-x}.

Passo 3

Agora multiplicamos ambos os lados por 2^{x} para eliminar o expoente negativo:
2^{x}\cdot 2^{x} + 10\cdot 2^{x} - 144 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2^{2x} + 10\cdot 2^{x} - 144 = 0.
Fazemos a substituição t = 2^{x} com t>0, obtendo
t^{2} + 10t - 144 = 0.

Passo 4

Calculamos o discriminante:
\Delta = 10^{2} - 4\cdot1\cdot(-144) = 100 + 576 = 676, \quad \sqrt{\Delta} = 26.
As raízes são
t = \frac{-10 \pm 26}{2} = 8 \quad\text{ou}\quad -18.
Como t>0, descartamos t=-18 e ficamos com t=8.

Passo 5

Voltando à variável x, resolvemos 2^{x} = 8, o que dá
x = 3.

Resposta

x = 3

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