Resolva em R a seguinte equação:
6^{3 x+3}=\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{36}\

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
6^{3x+3} = \frac{\sqrt{2}\,\cdot\sqrt{3}}{36}.
É um exercício de equações exponenciais que usa propriedades de potências e logaritmos. Vamos reescrever o termo da direita com a mesma base 6 e, em seguida, igualar os expoentes.

Passo 2

Observe que \sqrt{2}\,\cdot\sqrt{3} = \sqrt{6} = 6^{1/2} e 36 = 6^2. Logo,
\frac{\sqrt{2}\,\cdot\sqrt{3}}{36} = \frac{6^{1/2}}{6^2} = 6^{\tfrac{1}{2}-2} = 6^{-\tfrac{3}{2}}.
Assim a equação fica
6^{3x+3} = 6^{-\tfrac{3}{2}}.

Passo 3

Como a função a\mapsto 6^a é bijetora, igualamos os expoentes:
3x + 3 = -\tfrac{3}{2}.
Resolvendo para x:
3x = -\tfrac{3}{2} - 3 = -\tfrac{3}{2} - \tfrac{6}{2} = -\tfrac{9}{2},
x = -\tfrac{9}{2}\cdot\tfrac{1}{3} = -\tfrac{3}{2}.

Resposta

x = -\tfrac{3}{2}

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