Resolva em R a seguinte equação:
e^{2 x}+e^{x}-2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
e^{2x}+e^{x}-2=0.
O conteúdo aqui é equação exponencial. Para resolver, vamos usar a substituição t=e^{x}, lembrando que sempre vale t>0.

Passo 2

Fazendo a substituição t=e^{x}, temos e^{2x}=(e^{x})^{2}=t^{2}. Assim a equação original
e^{2x}+e^{x}-2=0
torna-se a equação quadrática
t^{2}+t-2=0.

Passo 3

Agora resolvemos a quadrática
t^{2}+t-2=0.
Usando a fórmula de Bhaskara, os coeficientes são a=1, b=1 e c=-2, de modo que
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot1\cdot(-2)}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2} =\frac{-1\pm3}{2}.
Isso dá as raízes
t_{1}=\frac{-1+3}{2}=1 \quad\text{e}\quad t_{2}=\frac{-1-3}{2}=-2.

Passo 4

Como t=e^{x} deve ser estritamente positivo, descartamos t_{2}=-2. Ficamos com
t=e^{x}=1.

Passo 5

Para e^{x}=1 sabemos que x=0.

Resposta

A única solução real da equação é x=0.

Exercícios relacionados