Resolva em R as seguintes condições:
\frac{25^{x}+125}{6}=5^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\frac{25^{x} + 125}{6} = 5^{x+1}.
Trata-se de uma equação exponencial. Para resolvê-la, vamos reescrever as potências com a mesma base e depois usar substituição para transformá-la num polinômio.

Passo 2

Observe que 25^{x}=(5^{2})^{x}=5^{2x}. Multiplicando os dois lados da equação por 6, obtemos
5^{2x} + 125 = 6 \cdot 5^{x+1} = 6 \cdot 5^{x}\cdot 5 = 30\,5^{x}.

Passo 3

Façamos a substituição t=5^{x}. Como 5^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, t>0. A equação fica
t^{2} + 125 = 30\,t \quad\Longrightarrow\quad t^{2} - 30\,t + 125 = 0,
que é uma equação quadrática em t.

Passo 4

Calculemos o discriminante:
\Delta = (-30)^{2} - 4\cdot1\cdot125 = 900 - 500 = 400,\quad \sqrt{\Delta} = 20.
As raízes são
t = \frac{30 \pm 20}{2},
isto é,
t_{1} = \frac{30 + 20}{2} = 25, \quad t_{2} = \frac{30 - 20}{2} = 5.

Passo 5

Voltemos à variável x. Temos
5^{x} = t_{1} = 25 = 5^{2} \quad\Longrightarrow\quad x = 2,
e
5^{x} = t_{2} = 5 = 5^{1} \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Resposta

As soluções em \mathbb{R} são
x = 1 \quad\text{ou}\quad x = 2.

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