Resolva em R as seguintes condições:
\log x+\log x^{2}=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\log x + \log x^{2} = -1.
Aqui usamos logaritmo de base 10 (se fosse base e, o procedimento é idêntico trocando 10 por e). Para resolver vamos precisar das seguintes ideias da teoria de logaritmos:
  1. Domínio de \log x exige x>0.
  2. Propriedade \log a + \log b = \log(ab).
  3. Equivalência \log(x^3)=-1 implica x^3=10^{-1}.

Passo 2

Determinar o domínio da equação. Temos \log x e \log x^2, mas \log x^2 só está definido para x\neq0. Como \log x exige x>0, concluímos x>0.

Passo 3

Aplicar a soma de logaritmos:
\log x + \log x^2 = \log\bigl(x\cdot x^2\bigr) = \log(x^3).
Logo a equação original fica
\log(x^3) = -1.

Passo 4

Transformar em forma exponencial. Da igualdade \log(x^3)=-1 segue
x^3 = 10^{-1}.
Tomando a raiz cúbica em ambos os lados, obtemos
x = 10^{-\tfrac{1}{3}}.

Resposta

x = 10^{-\tfrac{1}{3}}.

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