Resolva em R as seguintes condições:
\frac{x^{2}-2 x-3}{2-x} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede resolver em \mathbb{R} a inequação racional
\frac{x^{2}-2x-3}{2-x}\ge 0.
O conteúdo é inequações de quociente de polinômios e a técnica é a análise de sinais: vamos fatorar o numerador, achar os zeros de numerador e denominador e montar um estudo de sinais.

Passo 2

Fatoramos o numerador e identificamos onde o denominador se anula:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1),
e
2-x=0\quad\Longrightarrow\quad x=2.

Passo 3

Os pontos que podem mudar o sinal da expressão são as raízes do numerador e do denominador, ou seja,
x=-1,\quad x=2,\quad x=3.
Em x=-1 e x=3 a fração vale zero; em x=2 ela é indefinida (denominador nulo) e devemos excluir esse ponto. Esses valores dividem a reta em quatro intervalos: (-\infty,-1), (-1,2), (2,3) e (3,\infty).

Passo 4

Em cada intervalo, analisamos o sinal de cada fator e, portanto, o sinal do quociente:
  • Para x< -1:
    x+1<0,\;x-3<0,\;2-x>0.
    O numerador (x-3)(x+1) é positivo e o denominador é positivo, logo a fração é positiva.
  • Para -1<x<2:
    x+1>0,\;x-3<0,\;2-x>0.
    O numerador é negativo e o denominador positivo, logo a fração é negativa.
  • Para 2<x<3:
    x+1>0,\;x-3<0,\;2-x<0.
    O numerador é negativo e o denominador negativo, logo a fração é positiva.
  • Para x>3:
    x+1>0,\;x-3>0,\;2-x<0.
    O numerador é positivo e o denominador negativo, logo a fração é negativa.

Passo 5

Queremos onde a fração é maior ou igual a zero. Pelos sinais achados, isso ocorre em
(-\infty,-1)\quad\text{e}\quad(2,3),
além dos pontos em que o numerador zera x=-1 e x=3, pois aí o valor da fração é zero e satisfaz a “ \ge0”. O ponto x=2 fica de fora porque torna o denominador nulo.

Resposta

A solução da inequação é
x\in(-\infty,-1]\cup(2,3].

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