Resolva em R as seguintes condições:
\frac{2 x}{x-1}+\frac{1}{x+2}=\frac{5 x+1}{x^{2}+x-2}

Passo 1

A equação que queremos resolver em \mathbb{R} é
\frac{2x}{x-1} \;+\;\frac{1}{x+2} \;=\;\frac{5x+1}{x^{2}+x-2}.
O conteúdo principal aqui é a resolução de uma equação racional: vamos precisar identificar o domínio (pontos que anulam denominadores), reunir termos no mesmo denominador para simplificar e depois resolver a equação polinomial resultante, sempre verificando raízes extraviadas.

Passo 2

Determinamos o domínio excluindo valores que zeram qualquer denominador. Temos denominadores x-1, x+2 e x^2+x-2. Note que
x^2+x-2 = (x-1)(x+2).
Logo proibimos
x-1=0\quad\Rightarrow\quad x=1, \quad x+2=0\quad\Rightarrow\quad x=-2.
Portanto o domínio é
\mathbb{R}\setminus\{1,-2\}.

Passo 3

Reunimos o lado esquerdo sobre o denominador comum (x-1)(x+2):
\frac{2x}{x-1} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x(x+2) + 1\cdot(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x^2+4x + x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x^2+5x-1}{(x-1)(x+2)}.
A equação fica
\frac{2x^2+5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}.
Como (x-1)(x+2)\neq0 no domínio, podemos multiplicar ambos os lados por esse produto sem introduzir soluções extras, obtendo
2x^2+5x-1 = 5x+1.

Passo 4

Resolvemos a equação polinomial
2x^2+5x-1 - 5x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm1.
Porém x=1 está fora do domínio, restando apenas x=-1. Confirmamos que para x=-1 nenhum denominador se anula e que ambos os lados da equação original valem 2, logo é solução válida.

Resposta

A única solução em \mathbb{R} é
x = -1.

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