Resolva em R as seguintes equações:
\log _{x} 8=-\frac{3}{4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\log_{x}8 = -\frac{3}{4}.
Aqui o conteúdo é logaritmo de base variável. Lembrando que a base x deve satisfazer
  1. x>0,
  2. x\neq1,
  3. o argumento 8 é positivo (já está ok).
    Para resolver, vamos usar a fórmula de mudança de base do logaritmo.

Passo 2

Aplicando a mudança de base, escrevemos
\log_{x}8 \;=\;\frac{\ln 8}{\ln x}.
Então a equação fica
\frac{\ln 8}{\ln x} = -\frac{3}{4}.

Passo 3

Multiplicando em cruz para isolar \ln x, temos
\ln 8 = -\frac{3}{4}\,\ln x \quad\Longrightarrow\quad \ln x = -\frac{4}{3}\,\ln 8.

Passo 4

Como 8=2^3, \ln 8 = 3\ln 2. Logo
\ln x = -\frac{4}{3}\,(3\ln 2) = -4\ln 2 \quad\Longrightarrow\quad x = e^{-4\ln 2} = (e^{\ln 2})^{-4} = 2^{-4} = \frac{1}{16}.

Passo 5

Verificamos a base x=\tfrac{1}{16}:
  • É positiva,
  • Diferente de 1.
    Portanto atende aos requisitos.

Resposta

x = \frac{1}{16}.

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