Resolva em R as seguintes equações:
\log _{3}(2 x+1)+\frac{1}{3} \log _{3} 27=\log _{3} 81

Passo 1

O enunciado pede resolver em \mathbb{R} a equação
\log_{3}(2x+1) + \frac{1}{3}\,\log_{3}27 = \log_{3}81.
Trata-se de uma equação logarítmica de base 3. Primeiro, impomos a condição de existência do logaritmo:
2x+1>0 \quad\Longrightarrow\quad x>-\tfrac12.
Em seguida, usaremos propriedades de logaritmos para simplificar a expressão e isolar x.

Passo 2

Calculamos \log_{3}27. Como 27=3^3,
\log_{3}27 = 3.
Logo,
\frac{1}{3}\,\log_{3}27 = \frac{1}{3}\cdot 3 = 1.

Passo 3

Calculamos \log_{3}81. Como 81=3^4,
\log_{3}81 = 4.

Passo 4

Substituindo esses valores na equação original, obtemos
\log_{3}(2x+1) + 1 = 4 \quad\Longrightarrow\quad \log_{3}(2x+1) = 3.
Pela definição de logaritmo,
2x+1 = 3^3 = 27 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 26 \quad\Longrightarrow\quad x = 13.
Verificamos que 13>-\tfrac12, então a solução está no domínio permitido.

Resposta

x = 13

Exercícios relacionados