Resolva, em R, as seguintes inequaçōes, sabendo que 2 é solução das quatro propostas.
x^{3}-x^{2}-x-2 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
x^{3} - x^{2} - x - 2 \;\le\; 0
Sabemos que x=2 é raiz do polinômio x^{3}-x^{2}-x-2. O conteúdo aqui é fatorar o polinômio usando essa raiz e depois fazer análise de sinal do produto de fatores.

Passo 2

Vamos dividir x^{3}-x^{2}-x-2 por (x-2) para encontrar os fatores restantes. Usando divisão sintética:
Coeficientes: 1,\;-1,\;-1,\;-2
\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -1 & -1 & -2\\\ & & 2 & 2 & 2 \\hline & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}
O resto é zero e a divisão produz x^{2}+x+1. Logo,
x^{3}-x^{2}-x-2 = (x-2)\,(x^{2}+x+1).

Passo 3

Agora analisamos o sinal de cada fator:
  1. (x-2) é negativo quando x<2, nulo em x=2 e positivo quando x>2.
  2. x^{2}+x+1 tem discriminante \Delta = 1 - 4\cdot1\cdot1 = -3 < 0, portanto é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

O sinal do produto (x-2)(x^{2}+x+1) é, então, igual ao sinal de (x-2), pois o segundo fator nunca muda de sinal. Assim:
  • Para x<2, o produto é negativo.
  • Em x=2, o produto vale zero.
  • Para x>2, o produto é positivo.

Passo 5

A inequação pede (x-2)(x^{2}+x+1)\le0, isto é, produto negativo ou zero. Isso ocorre exatamente quando x \le 2.

Resposta

(-\infty,\,2]

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