Resolva
na raiz em
com tolerância
, aplicando: Para cada método, registre o número de iterações e o número total de avaliações de
(e de
, quando aplicável). Construa uma tabela comparativa.
Bisseção (com
).
Bisseção (com
Passo 1
O enunciado pede aproximar a raiz de
que está no intervalo
usando o método da bisseção com tolerância
. Informações dadas e pedidos:
- Função:
. - Intervalo inicial:
. - Tolerância para o erro absoluto da aproximação da raiz:
. - O que registrar:
- número de iterações do método da bisseção;
- número total de avaliações de
(e de , quando aplicável — aqui, bisseção não usa ); - montar uma tabela comparativa (aqui haverá uma linha correspondente à bisseção).
- Verificação inicial (uso direto dos dados): calcule
e para conferir mudança de sinal: -
. -
. - Como
e , existe pelo menos uma raiz em e o método da bisseção é aplicável.
-
Passo 2
O que é e como funciona o método da bisseção (explicação didática, passo-a-passo):
- Ideia básica: se
é contínua em e e têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz . A cada iteração o intervalo é dividido ao meio e escolhe-se a metade que contém a raiz (onde há mudança de sinal). - Operação de uma iteração:
- calcule o ponto médio
; - avalie
; - se
então é a raiz exata; senão: - se
, substitui-se (a raiz fica em ); - se
, substitui-se (a raiz fica em ).
- se
- calcule o ponto médio
- Critério de parada (erro garantido): após
iterações o comprimento do intervalo é Se usamos como aproximação o ponto médio da -ésima iteração, então o erro máximo garantido é metade do comprimento do intervalo: Para garantir erro absoluto exigimos Tomando logaritmo em base 2, Portanto o número mínimo de iterações inteiro necessário é - Contagem de avaliações de
: em uma implementação eficiente guarda-se os valores e iniciais (2 avaliações). Em cada iteração calcula-se apenas (uma avaliação por iteração). Assim o número total de avaliações de é O método da bisseção não usa , logo .
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao caso com
,
e
:
-
. - Calcule o menor
que satisfaz . Usando a fórmula: Como , obtemos Assim o menor inteiro é . - Logo são necessárias
iterações da bisseção para garantir erro máximo . - Número de avaliações de
: - Número de avaliações de
:
Passo 4
Mostro as primeiras iterações para fixar a ideia (cada avaliação de
está indicada):
- Inicial:
. -
(avalição 1). -
(avaliação 2).
-
- Iteração 1:
. -
(avaliação 3). - Como
e têm sinais opostos ( e ), novo intervalo .
-
- Iteração 2:
. -
(avaliação 4). - Como
, novo intervalo .
-
- Iteração 3:
. -
(avaliação 5). - Sinal negativo, novo intervalo
.
-
- Iteração 4:
. -
(avaliação 6). - Sinal positivo, novo intervalo
.
Observação: continue-se o processo até atingiriterações; a cada iteração há exatamente 1 avaliação nova de (além das duas iniciais guardadas).
-
Passo 5
Resultado final após
iterações:
- O ponto médio da última iteração (após 26 iterações) é uma aproximação da raiz com erro garantido
. - Aproximação numérica da raiz (valor do ponto médio após 26 iterações):
(esta é a aproximação obtida pelo procedimento da bisseção com 26 iterações, com erro absoluto .) - Registro das contagens pedidas:
- número de iterações da bisseção:
; - número total de avaliações de
: (duas iniciais mais uma por iteração); - número de avaliações de
: (não usado).
- número de iterações da bisseção:
- Tabela comparativa (apenas uma linha, já que só foi pedido bisseção):
- Método: Bisseção
Iterações: Avaliações de : Avaliações de : .
- Método: Bisseção
Resposta
Iterações (bisseção):
Avaliações de
Avaliações de