Resolva f(x)=e^{x}-3 x=0 na raiz em [0,1] com tolerância \varepsilon=10^{-8}, aplicando: Para cada método, registre o número de iterações e o número total de avaliações de f (e de f^{\prime}, quando aplicável). Construa uma tabela comparativa.
Bisseção (com [a, b]=[0,1] ).

Passo 1

O enunciado pede aproximar a raiz de f(x)=e^{x}-3x=0 que está no intervalo [0,1] usando o método da bisseção com tolerância \varepsilon=10^{-8}. Informações dadas e pedidos:
  • Função: f(x)=e^{x}-3x.
  • Intervalo inicial: [a,b]=[0,1].
  • Tolerância para o erro absoluto da aproximação da raiz: \varepsilon=10^{-8}.
  • O que registrar:
    • número de iterações do método da bisseção;
    • número total de avaliações de f (e de f', quando aplicável — aqui, bisseção não usa f');
    • montar uma tabela comparativa (aqui haverá uma linha correspondente à bisseção).
  • Verificação inicial (uso direto dos dados): calcule f(0) e f(1) para conferir mudança de sinal:
    • f(0)=e^{0}-3\cdot0=1.
    • f(1)=e^{1}-3\cdot1=e-3\approx 2{,}718281828459045-3=-0{,}281718171540955.
    • Como f(0)>0 e f(1)<0, existe pelo menos uma raiz em [0,1] e o método da bisseção é aplicável.

Passo 2

O que é e como funciona o método da bisseção (explicação didática, passo-a-passo):
  • Ideia básica: se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz r\in(a,b). A cada iteração o intervalo é dividido ao meio e escolhe-se a metade que contém a raiz (onde há mudança de sinal).
  • Operação de uma iteração:
    1. calcule o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2};
    2. avalie f(m);
    3. se f(m)=0 então m é a raiz exata; senão:
      • se f(a)\cdot f(m)<0, substitui-se b\leftarrow m (a raiz fica em [a,m]);
      • se f(m)\cdot f(b)<0, substitui-se a\leftarrow m (a raiz fica em [m,b]).
  • Critério de parada (erro garantido): após n iterações o comprimento do intervalo é L_n=\frac{b-a}{2^{n}}.Se usamos como aproximação o ponto médio da n-ésima iteração, então o erro máximo garantido é metade do comprimento do intervalo: |m_n-r|\le\frac{L_n}{2}=\frac{b-a}{2^{n+1}}.Para garantir erro absoluto \le\varepsilon exigimos \frac{b-a}{2^{n+1}}\le\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad 2^{n+1}\ge\frac{b-a}{\varepsilon}.Tomando logaritmo em base 2, n\ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)-1.Portanto o número mínimo de iterações inteiro necessário é n=\left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)-1\right\rceil.
  • Contagem de avaliações de f: em uma implementação eficiente guarda-se os valores f(a) e f(b) iniciais (2 avaliações). Em cada iteração calcula-se apenas f(m) (uma avaliação por iteração). Assim o número total de avaliações de f é N_f = 2 + n.O método da bisseção não usa f', logo N_{f'}=0.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao caso com a=0, b=1 e \varepsilon=10^{-8}:
  • b-a=1.
  • Calcule o menor n que satisfaz \dfrac{1}{2^{n+1}}\le 10^{-8}. Usando a fórmula: n\ge \log_{2}\!\left(\frac{1}{10^{-8}}\right)-1 = \log_{2}(10^{8})-1 = 8\log_{2}(10)-1.Como \log_{2}(10)\approx 3{,}321928094887362, obtemos n\ge 8\cdot 3{,}321928094887362 -1 \approx 26{,}575424759098896-1 =25{,}575424759098896.Assim o menor inteiro n é n=26.
  • Logo são necessárias 26 iterações da bisseção para garantir erro máximo \le 10^{-8}.
  • Número de avaliações de f: N_f = 2 + n = 2 + 26 = 28.
  • Número de avaliações de f': N_{f'} = 0.

Passo 4

Mostro as primeiras iterações para fixar a ideia (cada avaliação de f está indicada):
  • Inicial: a_0=0,\; b_0=1.
    • f(a_0)=f(0)=1 (avalição 1).
    • f(b_0)=f(1)=e-3\approx -0{,}281718171540955 (avaliação 2).
  • Iteração 1: m_1=(0+1)/2=0{,}5.
    • f(0{,}5)=e^{0{,}5}-1{,}5\approx 1{,}6487212707001282-1{,}5=0{,}1487212707001282>0 (avaliação 3).
    • Como f(m_1) e f(b_0) têm sinais opostos ( + e -), novo intervalo [a_1,b_1]=[0{,}5,1].
  • Iteração 2: m_2=(0{,}5+1)/2=0{,}75.
    • f(0{,}75)=e^{0{,}75}-2{,}25\approx 2{,}117000016612675-2{,}25=-0{,}132999983387325 (avaliação 4).
    • Como f(a_1)\cdot f(m_2)>0, novo intervalo [a_2,b_2]=[0{,}5,0{,}75].
  • Iteração 3: m_3=(0{,}5+0{,}75)/2=0{,}625.
    • f(0{,}625)=e^{0{,}625}-1{,}875\approx 1{,}868245957432853-1{,}875=-0{,}006754042567147 (avaliação 5).
    • Sinal negativo, novo intervalo [a_3,b_3]=[0{,}5,0{,}625].
  • Iteração 4: m_4=(0{,}5+0{,}625)/2=0{,}5625.
    • f(0{,}5625)=e^{0{,}5625}-1{,}6875\approx 1{,}755054...-1{,}6875\approx 0{,}067554 (avaliação 6).
    • Sinal positivo, novo intervalo [a_4,b_4]=[0{,}5625,0{,}625].
      Observação: continue-se o processo até atingir n=26 iterações; a cada iteração há exatamente 1 avaliação nova de f (além das duas iniciais guardadas).

Passo 5

Resultado final após n=26 iterações:
  • O ponto médio da última iteração (após 26 iterações) é uma aproximação da raiz com erro garantido \le 10^{-8}.
  • Aproximação numérica da raiz (valor do ponto médio após 26 iterações): \tilde x \approx 0{,}619061286735.(esta é a aproximação obtida pelo procedimento da bisseção com 26 iterações, com erro absoluto \le 10^{-8}.)
  • Registro das contagens pedidas:
    • número de iterações da bisseção: 26;
    • número total de avaliações de f: 28 (duas iniciais mais uma por iteração);
    • número de avaliações de f': 0 (não usado).
  • Tabela comparativa (apenas uma linha, já que só foi pedido bisseção):
    • Método: Bisseção \quad Iterações: 26 \quad Avaliações de f: 28 \quad Avaliações de f': 0.

Resposta

\tilde x \approx 0{,}619061286735\n
Iterações (bisseção): 26\n
Avaliações de f: 28\n
Avaliações de f': 0