Resolva, em \Re, as equações abaixo:
c) 3 x^{2}-10 x-8=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \Re, a equação quadrática
3x^{2}-10x-8=0.
Informações dadas:
  • A equação é do 2º grau (tem termo x^{2}).
  • Os coeficientes são números constantes que aparecem na equação (a identificar nos próximos passos).
    O que se pede: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem a equação.

Passo 2

Vou usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) para encontrar as raízes. A fórmula diz:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{onde}\quad \Delta=b^{2}-4ac.
Explicando cada símbolo:
  • a é o coeficiente de x^{2} (o número que multiplica x^{2}).
  • b é o coeficiente de x.
  • c é o termo constante (sem x).
  • \Delta (delta) é o discriminante; ele indica a natureza das raízes:
    • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas.
    • Se \Delta=0: uma raiz real dupla.
    • Se \Delta<0: não há raízes reais (são complexas).

Passo 3

Identifico os coeficientes na equação 3x^{2}-10x-8=0:
a=3,\qquad b=-10,\qquad c=-8.

Passo 4

Calculo o discriminante \Delta:
\Delta=b^{2}-4ac = (-10)^{2}-4\cdot 3\cdot(-8).
Agora faço as contas passo a passo:
(-10)^{2}=100, \qquad 4\cdot 3\cdot(-8)=12\cdot(-8)=-96,
portanto
\Delta=100-(-96)=100+96=196.

Passo 5

Como \Delta=196>0, teremos duas raízes reais distintas. Calculo \sqrt{\Delta}:
\sqrt{196}=14.
Substituo na fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-10)\pm 14}{2\cdot 3}=\frac{10\pm 14}{6}.
Agora obtenho as duas soluções separadamente:
  • Com o sinal +:
x=\frac{10+14}{6}=\frac{24}{6}=4.
  • Com o sinal -:
x=\frac{10-14}{6}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}.

Passo 6

Verificação rápida por fatoração (cheque prático): se a equação tem raízes 4 e -\tfrac{2}{3}, então pode ser escrita (até constante multiplicativa) como
3\bigl(x-4\bigr)\bigl(x+\tfrac{2}{3}\bigr).
Multiplicando os fatores de forma conveniente:
(3x+2)(x-4)=3x^{2}-12x+2x-8=3x^{2}-10x-8,
o que confirma a fatoração e as raízes encontradas (pois 3x+2=0\Rightarrow x=-\tfrac{2}{3} e x-4=0\Rightarrow x=4).

Passo 7

Conclusão e dica para prova: \Delta foi um quadrado perfeito ( 196=14^{2}), por isso as raízes são racionais e a fatoração é direta. Em prova, ao ver \Delta perfeito vale sempre checar fatoração rápida — economiza tempo.

Resposta

x=4
x=-\tfrac{2}{3}

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