Resolva as recorrências de 2^{a} ordem homogêneas a seguir:
x_{n+2}+3 x_{n+1}+3 x_{n}=0

Passo 1

Temos a recorrência de segunda ordem homogênea
x_{n+2}+3\,x_{n+1}+3\,x_{n}=0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica: montamos o polinômio associado, encontramos suas raízes e, a partir delas, construímos a solução geral.

Passo 2

Associamos à recorrência o polinômio característico
r^{2}+3r+3=0.

Passo 3

Calculamos o discriminante desse polinômio:
\Delta = 3^{2}-4\cdot1\cdot3 = 9-12 = -3 <0,
logo as raízes são complexas conjugadas.

Passo 4

Obtemos as raízes com a fórmula de Bhaskara:
r_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2}.
Podemos escrever cada raiz em forma polar:
o módulo é
\bigl|r_{1}\bigr| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{-3}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac{9+3}{4}} =\sqrt{3},
e o argumento de r_{1} (com parte imaginária positiva) é
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}/2}{-3/2}\bigr)+\pi =\pi-\tfrac{\pi}{6} =\tfrac{5\pi}{6}.

Passo 5

Pelo teorema das raízes complexas, a solução geral é
x_{n} = C_{1}\,\Bigl(\tfrac{-3 + i\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{n} + C_{2}\,\Bigl(\tfrac{-3 - i\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{n},
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Alternativamente, em termos reais, usando
\sqrt{3}=\bigl|r_{1}\bigr| e \theta=5\pi/6,
x_{n} =(\sqrt{3}\,)^{n}\Bigl[A\cos\!\bigl(n\tfrac{5\pi}{6}\bigr) +B\sin\!\bigl(n\tfrac{5\pi}{6}\bigr)\Bigr],
com A e B constantes reais.

Resposta

\boxed{ x_{n} = C_{1}\,\Bigl(\tfrac{-3 + i\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{n} + C_{2}\,\Bigl(\tfrac{-3 - i\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{n} }
ou, equivalentemente,
\boxed{ x_{n} =(\sqrt{3}\,)^{n}\Bigl[A\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi n}{6}\bigr) +B\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi n}{6}\bigr)\Bigr]. }

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