Resolva as recorrências de 2^{a} ordem homogêneas a seguir:
x_{n+2}-2 x_{n+1}+2 x_{n}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
x_{n+2}-2\,x_{n+1}+2\,x_{n}=0.
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica: basta montar o polinômio associado, achar suas raízes e montar a solução geral conforme o tipo das raízes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica trocando x_{n+k} por r^k:
r^2 - 2r + 2 = 0.
Esse polinômio quadrático indica quais são as raízes que vão guiar a forma da solução.

Passo 3

Calculamos as raízes de
r^2 - 2r + 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i.
Como as raízes r_1 e r_2 são complexas conjugadas, vamos usar a forma real da solução.

Passo 4

Para raízes complexas r=1\pm i escrevemos em forma polar:
1\pm i = \sqrt{2}\,e^{\pm i\pi/4}.
Então a solução geral real fica
x_n = (\sqrt{2})^n\bigl(A\cos\bigl(n\pi/4\bigr) + B\sin\bigl(n\pi/4\bigr)\bigr),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x_n = (\sqrt{2})^n\Bigl(A\cos\bigl(n\pi/4\bigr)+B\sin\bigl(n\pi/4\bigr)\Bigr),
com A,B\in\mathbb{R} definidos pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados