Resolva as recorrências de 2^{a} ordem homogêneas a seguir:
2 x_{n+2}+3 x_{n+1}-2 x_{n}=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
2x_{n+2}+3x_{n+1}-2x_{n}=0.
Vamos usar o método da equação característica, que consiste em substituir x_{n+k} por r^k e resolver a equação algébrica resultante.

Passo 2

Escrevemos a equação característica correspondente:
2r^2 + 3r - 2 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\Delta = 3^2 - 4\cdot2\cdot(-2) = 9 + 16 = 25.
As raízes são
r = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2\cdot2} = \frac{-3 \pm 5}{4}.
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r_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac12, \qquad r_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são distintas, a solução geral da recorrência é dada por
x_n = C_1\Bigl(\frac12\Bigr)^n + C_2(-2)^n,
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x_n = C_1\bigl(\tfrac12\bigr)^n + C_2(-2)^n.

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