Resolva as recorrências de 2^{a} ordem homogêneas a seguir:
x_{n+2}+6 x_{n+1}+9 x_{n}=0

Passo 1

Temos a recorrência homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
x_{n+2}+6\,x_{n+1}+9\,x_{n}=0.
O método para resolver é assumir uma solução da forma x_n=r^n e obter a equação característica.

Passo 2

Assumindo x_n=r^n, substituímos na recorrência e dividimos por r^n (para r\neq0), obtendo a equação característica
r^2+6r+9=0.

Passo 3

Resolvendo
r^2+6r+9=0
calculamos o discriminante \Delta=6^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0. Portanto há raiz única
r=-\frac{6}{2}=-3
com multiplicidade 2.

Passo 4

Como a raiz -3 é dupla, a forma da solução geral é
x_n=(C_1+C_2\,n)\,(-3)^n,
onde C_1 e C_2 são constantes que se determinam pelas condições iniciais.

Resposta

x_n=(C_1+C_2\,n)\,(-3)^n.

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