Resolva as recorrências de 2^{a} ordem homogêneas a seguir:
4 x_{n+2}-4 x_{n+1}+x_{n}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da recorrência homogênea de segunda ordem
4x_{n+2} - 4x_{n+1} + x_n = 0.
Para isso, vamos usar o método da equação característica, assumindo uma solução da forma x_n = r^n.

Passo 2

Substituindo x_n = r^n na recorrência obtemos a equação característica
4r^2 - 4r + 1 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot4\cdot1 = 16 - 16 = 0,
logo há uma raiz dupla
r = \frac{4}{2\cdot4} = \frac12.

Passo 3

Quando a raiz r=\tfrac12 tem multiplicidade 2, a forma geral da solução é
x_n = \bigl(C_1 + C_2\,n\bigr)\,\Bigl(\frac12\Bigr)^n,
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x_n = \bigl(C_1 + C_2\,n\bigr)\,\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n.

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