Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}+2 x_{n+1}+2 x_{n}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência linear homogênea de segunda ordem
x_{n+2} + 2\,x_{n+1} + 2\,x_{n} = 0.
O conteúdo aqui é solução de recorrências pelo método do polinômio característico.

Passo 2

Supondo uma solução da forma x_n = r^n, montamos o polinômio característico
r^2 + 2r + 2 = 0.

Passo 3

Calculamos as raízes de
r^2 + 2r + 2 = 0
usando a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i.

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas -1 \pm i, com módulo
|r| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}
e argumento
\arg(-1+i) = \frac{3\pi}{4},
a solução geral real fica
x_n = A\,(-1+i)^n + B\,(-1-i)^n,
onde A,B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Para escrever em forma real explícita, usamos a fórmula de Euler. Como
-1\pm i = \sqrt{2}\,e^{\pm i\,3\pi/4},
temos
x_n = 2^{\tfrac n2}\bigl(C\cos\bigl(\tfrac{3\pi n}{4}\bigr) + D\sin\bigl(\tfrac{3\pi n}{4}\bigr)\bigr),
com C,D ajustados pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da recorrência
x_{n+2} + 2\,x_{n+1} + 2\,x_{n} = 0
é
x_n = A\,(-1+i)^n + B\,(-1-i)^n
ou, em forma real,
x_n = 2^{\tfrac n2}\Bigl(C\cos\bigl(\tfrac{3\pi n}{4}\bigr) + D\sin\bigl(\tfrac{3\pi n}{4}\bigr)\Bigr),
onde A,B (ou C,D) são constantes definidas pelas condições iniciais do problema.

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