Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=n.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência não homogênea de segunda ordem
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_{n}=n.
O conteúdo necessário é: (1) achar a solução geral da parte homogênea; (2) encontrar uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar; (3) somar as duas partes.

Passo 2

A parte homogênea associada é
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_{n}=0
cuja equação característica é
r^2-5r+6=0.
As raízes são r=2 e r=3, então a solução geral homogênea é
x_n^{(h)} = A\cdot2^n + B\cdot3^n.

Passo 3

Para a solução particular, como o termo não homogêneo é o polinômio n (grau 1) e 1 não é raiz da característica, usamos o palpite
x_n^{(p)} = a\,n + b.
Substituímos na recorrência para determinar a e b.

Passo 4

Calculando
x_{n+2}^{(p)}-5x_{n+1}^{(p)}+6x_{n}^{(p)} = \bigl(a(n+2)+b\bigr)-5\bigl(a(n+1)+b\bigr)+6(an+b) =2a\,n-3a+2b.
Igualando a n obtemos o sistema
2a = 1, \qquad -3a+2b = 0,
cuja solução é
a = \tfrac12, \qquad b = \tfrac34.

Passo 5

A solução geral da recorrência é
x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = A\,2^n + B\,3^n + \tfrac12\,n + \tfrac34,
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x_n = A\,2^n + B\,3^n + \frac12\,n + \frac34.

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