Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}-4 x_{n+1}+4 x_{n}=2^{n+3} ; \quad x_{0}=3 ; \quad x_{1}=6.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência de segunda ordem não homogênea
x_{n+2}-4x_{n+1}+4x_n=2^{n+3},
com condições iniciais x_0=3 e x_1=6.
O conteúdo envolvido é solução de recorrências lineares com coeficientes constantes, usando:
  1. solução geral da parte homogênea (equação característica)
  2. método dos coeficientes a determinar para a parte particular
  3. ajuste pelas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea
x_{n+2}-4x_{n+1}+4x_n=0.
A equação característica é
r^2-4r+4=0\;\Longrightarrow\;(r-2)^2=0,
raiz dupla r=2. Logo a solução da parte homogênea é
x_n^h=(A+Bn)\,2^n,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Em seguida buscamos uma solução particular da forma
x_n^p=D\,n^2\,2^n,
porque o termo não homogêneo é 2^{n+3}=8\cdot2^n e 2 é raiz dupla. Substituindo em
x_{n+2}-4x_{n+1}+4x_n
temos
x_{n+2}^p=D(n+2)^2\,2^{n+2},\quad x_{n+1}^p=D(n+1)^2\,2^{n+1},\quad x_n^p=D\,n^2\,2^n,
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x_{n+2}^p-4x_{n+1}^p+4x_n^p =D\,2^n\bigl[4(n+2)^2-8(n+1)^2+4n^2\bigr] =D\,2^n\cdot8.
Para obter 2^{n+3}=8\cdot2^n basta ter 8D=8, ou seja D=1. Portanto
x_n^p=n^2\,2^n.

Passo 4

A solução geral é
x_n=x_n^h+x_n^p=(A+Bn)\,2^n+n^2\,2^n=(n^2+Bn+A)\,2^n.
Usando x_0=3
x_0=(0^2+B\cdot0+A)\,2^0=A=3.
Usando x_1=6
x_1=(1^2+B\cdot1+3)\,2=(4+B)\,2=8+2B=6 \;\Longrightarrow\;2B=-2\;\Longrightarrow\;B=-1.

Resposta

x_n=(n^2-n+3)\,2^n.

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