Resolva as recorrências a seguir:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a recorrência
com condições iniciais
e
.
O conteúdo aqui é resolução de recorrência linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Vamos primeiro resolver a parte homogênea usando a equação característica e depois encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar. Finalmente, ajustamos os constantes pelos dados iniciais.
O conteúdo aqui é resolução de recorrência linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Vamos primeiro resolver a parte homogênea usando a equação característica e depois encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar. Finalmente, ajustamos os constantes pelos dados iniciais.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
A equação característica é
Resolvendo, temos
Logo, a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Como o termo independente é
, um polinômio de grau 1, buscamos uma solução particular do tipo
Substituindo na recorrência original:
Isso gera
Comparando coeficientes de
e termos constantes:
Então
Passo 4
A solução geral da recorrência é a soma da parte homogênea com a particular:
Usamos as condições iniciais para determinar
e
:
para :
para
para
:
Resolvendo o sistema
obtém-se
e
.