Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}+x_{n+1}-6 x_{n}=6-8 n ; \quad x_{0}=1 ; \quad x_{1}=4.

Passo 1

O enunciado nos dá a recorrência
x_{n+2} + x_{n+1} - 6\,x_{n} = 6 - 8\,n,
com condições iniciais x_{0}=1 e x_{1}=4.
O conteúdo aqui é resolução de recorrência linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Vamos primeiro resolver a parte homogênea usando a equação característica e depois encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar. Finalmente, ajustamos os constantes pelos dados iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
x_{n+2} + x_{n+1} - 6\,x_{n} = 0.
A equação característica é
r^{2} + r - 6 = 0.
Resolvendo, temos
r = 2 \quad\text{ou}\quad r = -3.
Logo, a solução geral da parte homogênea é
x_{n}^{(h)} = A\cdot 2^{n} + B\cdot(-3)^{n}.

Passo 3

Como o termo independente é 6 - 8\,n, um polinômio de grau 1, buscamos uma solução particular do tipo
x_{n}^{(p)} = \alpha\,n + \beta.
Substituindo na recorrência original:
x_{n+2}^{(p)} + x_{n+1}^{(p)} - 6\,x_{n}^{(p)} = [\alpha(n+2)+\beta] + [\alpha(n+1)+\beta] -6[\alpha n+\beta].
Isso gera
\alpha(-4n+3) -4\beta \;=\; -8\,n + 6.
Comparando coeficientes de n e termos constantes:
-4\alpha = -8 \implies \alpha = 2, \qquad 3\alpha - 4\beta = 6 \implies 6 - 4\beta = 6 \implies \beta = 0.
Então
x_{n}^{(p)} = 2\,n.

Passo 4

A solução geral da recorrência é a soma da parte homogênea com a particular:
x_{n} = A\cdot 2^{n} + B\cdot(-3)^{n} + 2\,n.
Usamos as condições iniciais para determinar A e B:
para n=0:
x_{0} = A + B + 0 = 1 \implies A + B = 1,
para n=1:
x_{1} = 2A - 3B + 2 = 4 \implies 2A - 3B = 2.
Resolvendo o sistema
A + B = 1, \quad 2A - 3B = 2,
obtém-se B=0 e A=1.

Resposta

\boxed{x_{n} = 2^{n} + 2\,n.}

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