Resolva as recorrências a seguir:
.
Passo 1
Temos a recorrência não homogênea
O método para resolver é decompor em duas partes:
- solução da parte homogênea,
- particular para o termo
.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
A equação característica é
cuja fatoração dá
. Logo
e a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes a determinar por condições iniciais.
Passo 3
Para achar uma solução particular
de
notamos que
é raiz simples da característica, então tentamos
Calculamos
Substituindo na recorrência:
Para igualar a
precisamos de
Logo
Passo 4
A solução geral da recorrência é a soma da parte homogênea com a particular:
Podemos agrupar os termos em
:
Os parâmetros
e
ficam em função de duas condições iniciais que, se não fornecidas, deixam a resposta neste formato geral.
Resposta
ou equivalentemente
com
e
determinados por quaisquer condições iniciais que apareçam no problema.