Resolva as recorrências a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a recorrência não homogeneidade de segunda ordem
ou seja, encontrar a solução geral
. Para isso usamos dois ingredientes:
- solução geral da parte homogênea (equação característica);
- método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a parte homogênea
A equação característica é
cuja raízes são
e
. Logo a solução homogênea é
com
constantes a ajustar por condições iniciais (se fornecidas).
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
de
Como o lado direito é soma de um polinômio em
de grau 1 e de
, propomos
O termo
atende ao polinômio e o termo
leva em conta que
já é raiz simples da característica.
Passo 4
Substituindo
em
calculamos
Isso deve igualar à parte polinomial
. Logo
Passo 5
Substituindo
em
fatoramos
e achamos
Isso deve igualar à parte exponencial
, ou seja,
. Assim
Passo 6
Juntando tudo, a solução particular é
Logo a solução geral da recorrência é
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias definidas pelas condições iniciais.