Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=n+3^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência não homogeneidade de segunda ordem
x_{n+2} - 5\,x_{n+1} + 6\,x_n = n + 3^n,
ou seja, encontrar a solução geral x_n. Para isso usamos dois ingredientes:
  1. solução geral da parte homogênea (equação característica);
  2. método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea
x_{n+2} - 5\,x_{n+1} + 6\,x_n = 0.
A equação característica é
r^2 - 5r + 6 = 0,
cuja raízes são r=2 e r=3. Logo a solução homogênea é
x_n^{(h)} = A\,2^n + B\,3^n,
com A,B constantes a ajustar por condições iniciais (se fornecidas).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular x_n^{(p)} de
x_{n+2} - 5\,x_{n+1} + 6\,x_n = n + 3^n.
Como o lado direito é soma de um polinômio em n de grau 1 e de 3^n, propomos
x_n^{(p)} = an + b \;+\; C\,n\,3^n.
O termo an+b atende ao polinômio e o termo C\,n\,3^n leva em conta que 3 já é raiz simples da característica.

Passo 4

Substituindo q(n)=an+b em
q(n+2)-5\,q(n+1)+6\,q(n)
calculamos
q(n+2)-5q(n+1)+6q(n) =2a\,n +(-3a+2b).
Isso deve igualar à parte polinomial n. Logo
2a = 1,\quad -3a + 2b = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = \tfrac12,\; b = \tfrac34.

Passo 5

Substituindo r(n)=C\,n\,3^n em
r(n+2)-5\,r(n+1)+6\,r(n)
fatoramos C\,3^n e achamos
r(n+2)-5r(n+1)+6r(n) =3C\,3^n.
Isso deve igualar à parte exponencial 3^n, ou seja, 3C=1. Assim
C = \tfrac13.

Passo 6

Juntando tudo, a solução particular é
x_n^{(p)} = \tfrac12\,n + \tfrac34 + \tfrac13\,n\,3^n.
Logo a solução geral da recorrência é
x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = A\,2^n + B\,3^n + \tfrac12\,n + \tfrac34 + \tfrac13\,n\,3^n.

Resposta

x_n = A\,2^n + B\,3^n + \frac{n}{2} + \frac{3}{4} + \frac{n}{3}\,3^n,
onde A e B são constantes arbitrárias definidas pelas condições iniciais.

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