Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}-6 x_{n+1}+9 x_{n}=n-3^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência
x_{n+2} \;-\;6\,x_{n+1}\;+\;9\,x_{n} \;=\; n \;-\;3^{n}.
Este é um caso de equação de recorrância linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma particular para o termo n-3^n.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
x_{n+2} -6x_{n+1}+9x_n=0.
A equação característica é
r^2-6r+9=0
que tem raiz dupla r=3. Logo a solução geral da parte homogênea é
x_n^{(h)} = \bigl(C_1 + C_2\,n\bigr)\,3^n,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para o termo não-homogêneo n, fazemos um palpite do tipo polinomial de grau 1:
x_n^{(p1)} = A\,n + B.
Substituindo na recorrência homogênea calculamos
x_{n+2}^{(p1)}-6x_{n+1}^{(p1)}+9x_n^{(p1)} =4A\,n + (4B-4A)
e exigimos que isso seja igual a n. Assim
4A = 1,\quad 4B-4A=0 \quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac14,\;B=\tfrac14.
Portanto
x_n^{(p1)} = \frac{n+1}{4}.

Passo 4

Para o termo não-homogêneo -3^n, note que 3 é raiz dupla, então usamos o palpite
x_n^{(p2)} = C\,n^2\,3^n.
Seja y_n=n^2 3^n. Um cálculo direto mostra
y_{n+2}-6y_{n+1}+9y_n = 18\,3^n.
Logo, aplicando o operador em x_n^{(p2)}=C\,y_n 18C\,3^n, que deve ser igual a -3^n. Assim
18C = -1 \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac{1}{18}.
Então
x_n^{(p2)} = -\frac{1}{18}\,n^2\,3^n.

Passo 5

A solução geral da recorrência é a soma da parte homogênea com as duas particulares:
x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p1)} + x_n^{(p2)} = (C_1 + C_2\,n)\,3^n + \frac{n+1}{4} - \frac{n^2}{18}\,3^n.

Resposta

\boxed{ x_n \;=\; 3^n\bigl(C_1 + C_2\,n\bigr) \;+\;\frac{n+1}{4} \;-\;\frac{n^2}{18}\,3^n, }
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias definidas pelas condições iniciais.

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