Resolva as recorrências a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a recorrência
Este é um caso de equação de recorrância linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma particular para o termo
.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
A equação característica é
que tem raiz dupla
. Logo a solução geral da parte homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para o termo não-homogêneo
, fazemos um palpite do tipo polinomial de grau 1:
Substituindo na recorrência homogênea calculamos
e exigimos que isso seja igual a
. Assim
Portanto
Passo 4
Para o termo não-homogêneo
, note que
é raiz dupla, então usamos o palpite
Seja
. Um cálculo direto mostra
Logo, aplicando o operador em
dá
, que deve ser igual a
. Assim
Então
Passo 5
A solução geral da recorrência é a soma da parte homogênea com as duas particulares:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias definidas pelas condições iniciais.