Uma planta é tal que cada uma de suas sementes produz, um ano após ter sido plantada, 21 novas sementes e, a partir daí, 44 novas sementes a cada ano. Se plantarmos hoje uma semente e se, toda vez que uma semente for produzida ela for imediatamente plantada, quantas sementes serão produzidas daqui a n anos?

Passo 1

O enunciado diz que cada semente plantada gera, no ano seguinte, 21 novas sementes e, a partir do segundo ano após seu plantio, passa a gerar 44 sementes a cada ano. Plantando hoje uma semente e replantando imediatamente todas as sementes produzidas, queremos saber quantas sementes são produzidas no ano n. Vamos modelar isso por uma sequência \bigl(P_n\bigr), em que P_n é o número de sementes produzidas no ano n. Usaremos recorrências e resolução de equação característica.

Passo 2

Cada semente plantada no ano k contribui para o total de sementes produzidas no ano n assim:
1. se n=k+1, ela dá 21 sementes;
2. se n\ge k+2, ela dá 44 sementes;
3. para n\le k, não dá nada ainda.
Como todas as sementes produzidas no ano k viram P_k novos plantios, temos
P_n = 21\,P_{n-1} \;+\;44\sum_{k=0}^{n-2}P_k\quad(n\ge2).

Passo 3

Definindo S_m = \sum_{k=0}^{m}P_k, nota-se que \sum_{k=0}^{n-2}P_k = S_{n-2}. Então
P_n = 21\,P_{n-1} +44\,S_{n-2}.
Como S_{n-1}=S_{n-2}+P_{n-1}, substituímos em P_{n+2} e P_{n+1} para eliminar S, obtendo após manipulação:
P_{n+2}=22\,P_{n+1}+23\,P_n\quad(n\ge0).

Passo 4

A equação característica associada é
r^2 -22r -23 = 0.
Suas raízes são
r = \frac{22\pm\sqrt{22^2+4\cdot23}}{2} = \frac{22\pm24}{2},
ou seja r_1=23 e r_2=-1. Logo a solução geral é
P_n = A\cdot23^n + B\cdot(-1)^n.

Passo 5

As condições iniciais são P_0=1 (no ano zero plantamos uma semente) e
P_1 = 21\cdot P_0 +44\cdot0 = 21.
Aplicando em P_n:
P_0 = A+B =1,
P_1 = 23A - B =21.
Resolvendo, A=11/12 e B=1/12. Portanto
P_n = \frac{11}{12}\,23^n + \frac{1}{12}(-1)^n.

Resposta

P_n = \frac{11}{12}\,23^n + \frac{1}{12}(-1)^n

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