Uma planta é tal que cada uma de suas sementes produz, um ano após ter sido plantada, 21 novas sementes e, a partir daí, 44 novas sementes a cada ano. Se plantarmos hoje uma semente e se, toda vez que uma semente for produzida ela for imediatamente plantada, quantas sementes serão produzidas daqui a
anos?
Passo 1
O enunciado diz que cada semente plantada gera, no ano seguinte,
novas sementes e, a partir do segundo ano após seu plantio, passa a gerar
sementes a cada ano. Plantando hoje uma semente e replantando imediatamente todas as sementes produzidas, queremos saber quantas sementes são produzidas no ano
. Vamos modelar isso por uma sequência
, em que
é o número de sementes produzidas no ano
. Usaremos recorrências e resolução de equação característica.
Passo 2
Cada semente plantada no ano
contribui para o total de sementes produzidas no ano
assim:
. se
, ela dá
sementes;
. se
, ela dá
sementes;
. para
, não dá nada ainda.
Como todas as sementes produzidas no ano viram
novos plantios, temos
Como todas as sementes produzidas no ano
Passo 3
Definindo
, nota-se que
. Então
Como
, substituímos em
e
para eliminar
, obtendo após manipulação:
Passo 4
A equação característica associada é
Suas raízes são
ou seja
e
. Logo a solução geral é
Passo 5
As condições iniciais são
(no ano zero plantamos uma semente) e
Aplicando em
:
Resolvendo,
e
. Portanto