Informações relevantes: os nove elementos da matriz estão todos fornecidos. A pergunta é apenas “é invertível?” (ou seja, se existe A^{-1}).]
Passo 2
Qual a condição que vamos usar (explicação didática).
Para matrizes quadradas, uma forma direta de verificar invertibilidade é calcular o determinante.
Teorema importante (enunciado em palavras amigáveis): uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0. Se \det(A)=0, a matriz não é invertível.
O determinante de uma matriz 3\times3 pode ser calculado por expansão por cofatores (expansão por linha ou coluna) ou por redução por linhas. Aqui vou usar expansão por cofatores porque a primeira coluna tem um zero, o que simplifica as contas.
Definições rápidas:
O menor M_{ij} é o determinante da matriz que sobra quando se remove a linha i e a coluna j.
O cofator C_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
A expansão por cofatores pela coluna j é \det(A)=\sum_{i=1}^{3} a_{i j}\,C_{i j}.
Passo 3
Escolha da coluna para expandir e por quê.
Vou expandir a determinação pela primeira coluna porque nela há um elemento zero (isso reduz trabalho).
Escrevendo a primeira coluna: a_{11}=1, a_{21}=-1, a_{31}=0.
A fórmula de expansão pela primeira coluna é
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}.
Passo 4
Calcular os cofatores um a um, com explicação do que é cada menor.
Para C_{11}: remover linha 1 e coluna 1 deixa a matriz
O determinante desse menor seria \det(M_{31})=0\cdot1-1\cdot1= -1, e o cofator seria C_{31}=(-1)^{3+1}\det(M_{31})=(+1)\cdot(-1)=-1.
Mas observe que a_{31}=0, logo a contribuição de a_{31}C_{31} para \det(A) será zero — posso calcular C_{31} ou simplesmente notar que o termo final será 0.]
Passo 5
Montar a expansão e calcular o determinante somando as contribuições.
Usando a fórmula \det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31} e os valores encontrados:
a_{11}=1 e C_{11}=-1 => contribuição 1\cdot(-1)=-1.
a_{21}=-1 e C_{21}=+1 => contribuição (-1)\cdot(+1)=-1.
a_{31}=0 => contribuição 0.
Somando:
\det(A) = -1 + (-1) + 0 = -2.
Passo 6
Interpretação final e conclusão (lição para a prova).
Encontramos \det(A)=-2. Como -2\neq 0, pela condição que relaciona determinante e invertibilidade, a matriz A é invertível.
Dica prática para provas: sempre que possível escolha para a expansão a linha ou coluna com mais zeros — isso poupa cálculos. Alternativamente, fazer eliminação de Gauss até triangular e multiplicar as entradas da diagonal também dá o determinante (cuidado com trocas de linha, que mudam o sinal).