Verifique se as seguintes matrizes são invertíveis.
\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz abaixo é invertível. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]-1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes: os nove elementos da matriz estão todos fornecidos. A pergunta é apenas “é invertível?” (ou seja, se existe A^{-1}).]

Passo 2

Qual a condição que vamos usar (explicação didática).
  • Para matrizes quadradas, uma forma direta de verificar invertibilidade é calcular o determinante.
  • Teorema importante (enunciado em palavras amigáveis): uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0. Se \det(A)=0, a matriz não é invertível.
  • O determinante de uma matriz 3\times3 pode ser calculado por expansão por cofatores (expansão por linha ou coluna) ou por redução por linhas. Aqui vou usar expansão por cofatores porque a primeira coluna tem um zero, o que simplifica as contas.
  • Definições rápidas:
    • O menor M_{ij} é o determinante da matriz que sobra quando se remove a linha i e a coluna j.
    • O cofator C_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
    • A expansão por cofatores pela coluna j é \det(A)=\sum_{i=1}^{3} a_{i j}\,C_{i j}.

Passo 3

Escolha da coluna para expandir e por quê.
  • Vou expandir a determinação pela primeira coluna porque nela há um elemento zero (isso reduz trabalho).
  • Escrevendo a primeira coluna: a_{11}=1, a_{21}=-1, a_{31}=0.
  • A fórmula de expansão pela primeira coluna é
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}.

Passo 4

Calcular os cofatores um a um, com explicação do que é cada menor.
  • Para C_{11}: remover linha 1 e coluna 1 deixa a matriz
M_{11}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
O determinante desse menor é \det(M_{11})=1\cdot0-1\cdot1=0-1=-1.
O cofator é C_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11})=+1\cdot(-1)=-1.
  • Para C_{21}: remover linha 2 e coluna 1 deixa a matriz
M_{21}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
O determinante desse menor é \det(M_{21})=0\cdot0-1\cdot1=0-1=-1.
O cofator é C_{21}=(-1)^{2+1}\det(M_{21})=(-1)\cdot(-1)=+1.
  • Para C_{31}: remover linha 3 e coluna 1 deixa a matriz
M_{31}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
O determinante desse menor seria \det(M_{31})=0\cdot1-1\cdot1= -1, e o cofator seria C_{31}=(-1)^{3+1}\det(M_{31})=(+1)\cdot(-1)=-1.
Mas observe que a_{31}=0, logo a contribuição de a_{31}C_{31} para \det(A) será zero — posso calcular C_{31} ou simplesmente notar que o termo final será 0.]

Passo 5

Montar a expansão e calcular o determinante somando as contribuições.
  • Usando a fórmula \det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31} e os valores encontrados:
    • a_{11}=1 e C_{11}=-1 => contribuição 1\cdot(-1)=-1.
    • a_{21}=-1 e C_{21}=+1 => contribuição (-1)\cdot(+1)=-1.
    • a_{31}=0 => contribuição 0.
  • Somando:
\det(A) = -1 + (-1) + 0 = -2.

Passo 6

Interpretação final e conclusão (lição para a prova).
  • Encontramos \det(A)=-2. Como -2\neq 0, pela condição que relaciona determinante e invertibilidade, a matriz A é invertível.
  • Dica prática para provas: sempre que possível escolha para a expansão a linha ou coluna com mais zeros — isso poupa cálculos. Alternativamente, fazer eliminação de Gauss até triangular e multiplicar as entradas da diagonal também dá o determinante (cuidado com trocas de linha, que mudam o sinal).

Resposta

A é invertível, pois \det(A)=-2\neq0.

Exercícios relacionados