Determine quais das seguintes matrizes são invertíveis.
(a) \left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\\\ 9 & -1 & 4 \\\\ 8 & 9 & -1\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{rrr}4 & 2 & 8 \\\\ -2 & 1 & -4 \\\\ 3 & 1 & 6\end{array}\right]
(c) \left[\begin{array}{rrr}\sqrt{2} & -\sqrt{7} & 0 \\\\ 3 \sqrt{2} & -3 \sqrt{7} & 0 \\\\ 5 & -9 & 0\end{array}\right]
(d) \left[\begin{array}{rrr}-3 & 0 & 1 \\\\ 5 & 0 & 6 \\\\ 8 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar quais das matrizes dadas são invertíveis. As matrizes fornecidas são:
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\[4pt] 9 & -1 & 4 \\[4pt] 8 & 9 & -1\end{array}\right]
B=\left[\begin{array}{rrr}4 & 2 & 8 \\[4pt] -2 & 1 & -4 \\[4pt] 3 & 1 & 6\end{array}\right]
C=\left[\begin{array}{rrr}\sqrt{2} & -\sqrt{7} & 0 \\[4pt] 3\sqrt{2} & -3\sqrt{7} & 0 \\[4pt] 5 & -9 & 0\end{array}\right]
D=\left[\begin{array}{rrr}-3 & 0 & 1 \\[4pt] 5 & 0 & 6 \\[4pt] 8 & 0 & 3\end{array}\right]
Informação importante: cada matriz é 3\times3. O objetivo é, para cada uma, decidir se existe a matriz inversa (ou seja, se ela é invertível).]

Passo 2

Conceito-chave e método que vamos usar (sem pular etapas): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Ou seja:
\text{matriz invertível} \iff \det(\text{matriz}) \neq 0.í
Para matrizes 3\times3 há várias formas de calcular o determinante: a regra de Sarrus (rápida), ou expansão por co-fatores (mais sistemática), ou operações elementares que preservem/alterem o determinante de forma controlada. Vou usar expansão por co-fatores ou observações simples (coluna/linha nula ou múltiplas) quando isso facilitar, e mostrar passo a passo como calcular. Essa é a técnica que dá segurança numa prova sem calculadora.
Lembrete rápido da expansão por co-fatores na primeira linha: se M=\big[m_{ij}\big]_{3\times3}, então
\det(M)=m_{11}C_{11}+m_{12}C_{12}+m_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(\text{menor obtido removendo linha 1 e coluna }j).

Passo 3

Analisando a matriz A. Vou calcular \det(A) por expansão na primeira linha. Os elementos da primeira linha são 1,\;0,\;-1.
Menores necessários:
  • Menor correspondente a a_{11}=1 é a submatriz obtida retirando linha 1 e coluna 1:
\begin{pmatrix}-1 & 4 \\[4pt] 9 & -1\end{pmatrix}.
O determinante desse menor é
\det\begin{pmatrix}-1 & 4 \\[4pt] 9 & -1\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-1)-4\cdot9=1-36=-35.
O cofator C_{11}=(-1)^{1+1}(-35)=-35.
  • O elemento a_{12}=0. Qualquer cofator associado multiplicado por zero contribui zero, então ignoramos o cálculo explícito do menor aqui.
  • Menor correspondente a a_{13}=-1 é a submatriz obtida retirando linha 1 e coluna 3:
\begin{pmatrix}9 & -1 \\[4pt] 8 & 9\end{pmatrix}.
O determinante desse menor é
\det\begin{pmatrix}9 & -1 \\[4pt] 8 & 9\end{pmatrix}=9\cdot9-(-1)\cdot8=81+8=89.
O cofator C_{13}=(-1)^{1+3}\cdot89=+89.
Agora a expansão por co-fatores dá
\det(A)=1\cdot(-35)+0\cdot C_{12}+(-1)\cdot89=-35-89=-124.
Como \det(A)=-124\neq0, concluímos que A é invertível.]

Passo 4

Analisando a matriz B. Vou calcular \det(B) por expansão na primeira linha também. A primeira linha é 4,\;2,\;8.
Calcule os menores:
  • Para b_{11}=4, o menor é
\begin{pmatrix}1 & -4 \\[4pt] 1 & 6\end{pmatrix},
com determinante
\det\begin{pmatrix}1 & -4 \\[4pt] 1 & 6\end{pmatrix}=1\cdot6-(-4)\cdot1=6+4=10.
Cofator C_{11}=(-1)^{2}\cdot10=10. Contribuição: 4\cdot10=40.
  • Para b_{12}=2, o menor é
\begin{pmatrix}-2 & -4 \\[4pt] 3 & 6\end{pmatrix},
com determinante
(-2)\cdot6-(-4)\cdot3=-12+12=0.
Cofator C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot0= -0=0. Contribuição: 2\cdot0=0.
  • Para b_{13}=8, o menor é
\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix},
com determinante
(-2)\cdot1-1\cdot3=-2-3=-5.
Cofator C_{13}=(-1)^{1+3}\cdot(-5)=+(-5)=-5. Contribuição: 8\cdot(-5)=-40.
Somando as contribuições:
\det(B)=40+0-40=0.
Como \det(B)=0, B NÃO é invertível. (Interpretação: as linhas/colunas são linearmente dependentes.)]

Passo 5

Analisando a matriz C. Observação imediata: a terceira coluna de C é (0,0,0)^{T}. Uma coluna inteira de zeros provoca determinante zero, pois o determinante é multilinear nas colunas e se uma coluna é nula o determinante é nulo. Formalmente,
\det\text{(C)}=0.
Logo C NÃO é invertível.

Passo 6

Analisando a matriz D. Observação similar: a segunda coluna de D é (0,0,0)^{T}. Uma coluna inteira nula implica determinante zero. Portanto
\det(D)=0.
Logo D NÃO é invertível.

Passo 7

Resumo final do raciocínio rápido para a prova (dicas):
  • Sempre que vir uma coluna (ou linha) nula, já pode concluir determinante zero e não invertibilidade.
  • Se houver linhas (ou colunas) múltiplas de outra, também dá determinante zero.
  • Para um 3\times3 sem sinais óbvios de dependência, usar a regra de Sarrus ou expansão por co-fatores na linha/coluna que tenha zeros facilita muito.
  • Lembre-se: determinante diferente de zero ⇔ inversa existe.

Resposta

(a) invertível
(b) não invertível
(c) não invertível
(d) não invertível

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