Informação importante: cada matriz é 3\times3. O objetivo é, para cada uma, decidir se existe a matriz inversa (ou seja, se ela é invertível).]
Passo 2
Conceito-chave e método que vamos usar (sem pular etapas): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Ou seja:
Para matrizes 3\times3 há várias formas de calcular o determinante: a regra de Sarrus (rápida), ou expansão por co-fatores (mais sistemática), ou operações elementares que preservem/alterem o determinante de forma controlada. Vou usar expansão por co-fatores ou observações simples (coluna/linha nula ou múltiplas) quando isso facilitar, e mostrar passo a passo como calcular. Essa é a técnica que dá segurança numa prova sem calculadora.
Lembrete rápido da expansão por co-fatores na primeira linha: se M=\big[m_{ij}\big]_{3\times3}, então
\det(M)=m_{11}C_{11}+m_{12}C_{12}+m_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(\text{menor obtido removendo linha 1 e coluna }j).
Passo 3
Analisando a matriz A. Vou calcular \det(A) por expansão na primeira linha. Os elementos da primeira linha são 1,\;0,\;-1.
Menores necessários:
Menor correspondente a a_{11}=1 é a submatriz obtida retirando linha 1 e coluna 1:
Como \det(B)=0, B NÃO é invertível. (Interpretação: as linhas/colunas são linearmente dependentes.)]
Passo 5
Analisando a matriz C. Observação imediata: a terceira coluna de C é (0,0,0)^{T}. Uma coluna inteira de zeros provoca determinante zero, pois o determinante é multilinear nas colunas e se uma coluna é nula o determinante é nulo. Formalmente,
\det\text{(C)}=0.
Logo C NÃO é invertível.
Passo 6
Analisando a matriz D. Observação similar: a segunda coluna de D é (0,0,0)^{T}. Uma coluna inteira nula implica determinante zero. Portanto
\det(D)=0.
Logo D NÃO é invertível.
Passo 7
Resumo final do raciocínio rápido para a prova (dicas):
Sempre que vir uma coluna (ou linha) nula, já pode concluir determinante zero e não invertibilidade.
Se houver linhas (ou colunas) múltiplas de outra, também dá determinante zero.
Para um 3\times3 sem sinais óbvios de dependência, usar a regra de Sarrus ou expansão por co-fatores na linha/coluna que tenha zeros facilita muito.
Lembre-se: determinante diferente de zero ⇔ inversa existe.
Resposta
(a) invertível
(b) não invertível
(c) não invertível
(d) não invertível