Resolva a seguinte EDO usando o método dos Coeficientes Indeterminados:
y^{\prime \prime \prime \prime}+y^{\prime \prime \prime}=1-2 e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime\prime}=1-2e^{x}
e pede encontrar a solução geral y(x) usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações dadas e o que é pedido:
  • É uma EDO linear de coeficientes constantes de ordem 4.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é a combinação de uma constante 1 e de uma exponencial -2e^{x}.
  • Pedido: encontrar a solução geral y(x) (solução homogênea + solução particular).

Passo 2

Construir a equação homogênea associada e achar suas raízes características:
A equação homogênea é
y^{\prime\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime\prime}=0.
Assumimos solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos o polinômio característico
r^{4}+r^{3}=0.
Fatorando:
r^{3}(r+1)=0.
As raízes são r=0 com multiplicidade 3 e r=-1 com multiplicidade 1.

Passo 3

A partir das raízes do polinômio característico obtemos as soluções básicas da homogênea:
  • Para r=0 com multiplicidade 3 as soluções independentes são 1,\;x,\;x^{2}.
  • Para r=-1 a solução é e^{-x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}e^{-x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Explicação do método dos coeficientes indeterminados e escolha do palpite para a solução particular:
  • A ideia é supor uma forma para y_{p} semelhante ao lado direito, com coeficientes indeterminados, inserir na equação e determinar esses coeficientes.
  • Regras importantes: se o termo não-homogêneo contém um polinômio de grau n multiplicado por e^{\alpha x}, o palpite é um polinômio de grau n vezes e^{\alpha x}, multiplicado por x^{s} onde s é a multiplicidade de \alpha como raiz do polinômio característico.
    Aplicando ao nosso caso:
  • Para a parte constante 1: é um polinômio de grau 0 com \alpha=0. Como r=0 é raiz de multiplicidade 3, multiplicamos por x^{3}. Logo o palpite para a parte constante é A x^{3} (aqui A é coeficiente a determinar).
  • Para a parte -2e^{x}: é um exponencial com \alpha=1. Como r=1 não é raiz do polinômio característico, não há multiplicação por x. Logo o palpite é B e^{x}.
Assim tomamos como palpite completo
y_{p}(x)=A x^{3} + B e^{x},
com A e B a determinar.

Passo 5

Calcular as derivadas de A x^{3} e sua contribuição na equação:
Tomando y_{p1}=A x^{3},
y_{p1}^{\prime}=3A x^{2},\qquad y_{p1}^{\prime\prime}=6A x,\qquad y_{p1}^{\prime\prime\prime}=6A,\qquad y_{p1}^{\prime\prime\prime\prime}=0.
Substituindo em y^{\prime\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime\prime} obtemos para essa parte:
y_{p1}^{\prime\prime\prime\prime}+y_{p1}^{\prime\prime\prime}=0+6A=6A.
Portanto a contribuição da parte polinomial é a constante 6A.

Passo 6

Calcular as derivadas de B e^{x} e sua contribuição:
Tomando y_{p2}=B e^{x},
y_{p2}^{\prime}=B e^{x},\qquad y_{p2}^{\prime\prime}=B e^{x},\qquad y_{p2}^{\prime\prime\prime}=B e^{x},\qquad y_{p2}^{\prime\prime\prime\prime}=B e^{x}.
Substituindo na combinação:
y_{p2}^{\prime\prime\prime\prime}+y_{p2}^{\prime\prime\prime}=B e^{x}+B e^{x}=2B e^{x}.
Portanto a contribuição da parte exponencial é 2B e^{x}.

Passo 7

Somar as contribuições das duas partes e igualar ao lado direito, identificando coeficientes independentes:
A soma dá
y_{p}^{\prime\prime\prime\prime}+y_{p}^{\prime\prime\prime}=6A + 2B e^{x}.
Isso deve ser igual ao lado direito da EDO:
1-2e^{x}.
Como 1 e e^{x} são funções linearmente independentes, igualamos coeficiente a coeficiente:
  • Coeficiente da função 1:
6A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{6}.
  • Coeficiente da função e^{x}:
2B = -2 \quad\Rightarrow\quad B=-1.

Passo 8

Escrever a solução particular e a solução geral:
Com A=\tfrac{1}{6} e B=-1 temos
y_{p}(x)=\tfrac{1}{6}x^{3}-e^{x}.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}e^{-x}+\tfrac{1}{6}x^{3}-e^{x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}e^{-x}+\dfrac{1}{6}x^{3}-e^{x}

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