Resolva a seguinte EDO usando o método dos Coeficientes Indeterminados:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede encontrar a solução geral
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações dadas e o que é pedido:
- É uma EDO linear de coeficientes constantes de ordem 4.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é a combinação de uma constante
e de uma exponencial . - Pedido: encontrar a solução geral
(solução homogênea + solução particular).
Passo 2
Construir a equação homogênea associada e achar suas raízes características:
A equação homogênea é
A equação homogênea é
Assumimos solução do tipo
. Substituindo na homogênea obtemos o polinômio característico
Fatorando:
As raízes são
com multiplicidade
e
com multiplicidade
.
Passo 3
A partir das raízes do polinômio característico obtemos as soluções básicas da homogênea:
- Para
com multiplicidade as soluções independentes são . - Para
a solução é .
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Explicação do método dos coeficientes indeterminados e escolha do palpite para a solução particular:
- A ideia é supor uma forma para
semelhante ao lado direito, com coeficientes indeterminados, inserir na equação e determinar esses coeficientes. - Regras importantes: se o termo não-homogêneo contém um polinômio de grau
multiplicado por , o palpite é um polinômio de grau vezes , multiplicado por onde é a multiplicidade de como raiz do polinômio característico.
Aplicando ao nosso caso: - Para a parte constante
: é um polinômio de grau com . Como é raiz de multiplicidade , multiplicamos por . Logo o palpite para a parte constante é (aqui é coeficiente a determinar). - Para a parte
: é um exponencial com . Como não é raiz do polinômio característico, não há multiplicação por . Logo o palpite é .
Assim tomamos como palpite completo
com
e
a determinar.
Passo 5
Calcular as derivadas de
e sua contribuição na equação:
Tomando ,
Tomando
Substituindo em
obtemos para essa parte:
Portanto a contribuição da parte polinomial é a constante
.
Passo 6
Calcular as derivadas de
e sua contribuição:
Tomando ,
Tomando
Substituindo na combinação:
Portanto a contribuição da parte exponencial é
.
Passo 7
Somar as contribuições das duas partes e igualar ao lado direito, identificando coeficientes independentes:
A soma dá
A soma dá
Isso deve ser igual ao lado direito da EDO:
Como
e
são funções linearmente independentes, igualamos coeficiente a coeficiente:
- Coeficiente da função
:
- Coeficiente da função
:
Passo 8
Escrever a solução particular e a solução geral:
Com e
temos
Com
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
onde
são constantes arbitrárias.