Considere a equação diferencial
(a) Encontre a solução geral utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(b) Determine a solução que satisfaz o problema de valor inicial
(b) Determine a solução que satisfaz o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
(a) Encontrar a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados.
(b) Determinar a solução que satisfaz as condições iniciais
(a) Encontrar a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados.
(b) Determinar a solução que satisfaz as condições iniciais
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes e termo fonte constante igual a
. - As condições iniciais são dadas em
.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada (essa é a parte padrão antes de procurar particular). A equação homogênea é
Para resolver uma equação homogênea linear com coeficientes constantes, usa-se a ansatz
, onde
é uma constante a determinar. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica:
Aqui
é a incógnita da equação polinomial; resolver esta equação dá as raízes:
Quando as raízes são complexas conjugadas
com
e
, a solução geral da homogênea é combinação linear de
e
:
onde
e
são constantes arbitrárias. (Aqui expliquei:
e
aparecem porque
.)
Passo 3
Agora aplicar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular
da equação completa
O método dos coeficientes indeterminados consiste em assumir uma forma para
que seja do mesmo tipo do termo à direita da equação (a “força” ou “forçamento”) e com coeficientes indeterminados que serão ajustados por substituição. O lado direito é uma constante
, então tentamos uma solução particular constante:
onde
é uma constante desconhecida. (Observação: essa escolha é válida porque nenhuma solução da homogênea é constante; as soluções homogêneas oscilam e não incluem constantes, então não há ressonância.)
Passo 4
Calcular as derivadas de
e substituir na equação:
Substituindo em
obtemos
Resolvendo para
:
Portanto uma solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma da solução complementar e da solução particular:
Isso responde à parte (a). (Resumo do que cada símbolo significa:
são constantes arbitrárias a serem fixadas por condições iniciais;
é a variável independente; as funções
e
vêm da solução da homogênea.)
Passo 6
Agora resolvemos a parte (b): aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro escrevo a condição em
. Como
e
, substituo em
:
A condição dada é
. Igualando:
Isolando a combinação
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 7
Agora uso a condição sobre a derivada. Primeiro calculo
derivando a solução geral termo a termo:
- Derivada de
é (regra da cadeia: derivada de é , aqui , ). - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Assim
Avalio em
usando
:
A condição é
. Portanto
Dividindo por
obtemos
Passo 8
Agora resolvo o sistema linear formado pelas duas equações para
Somando as duas equações cancela
dá
Passo 9
Com
e
a solução que satisfaz o problema de valor inicial é
Como checagem rápida (para ganhar confiança): em
temos
, e
logo
, como exigido. Tudo confere — ótimo trabalho mantendo a calma!
Resposta
(a)
(b)
(b)