Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime}+4 y=-2
(a) Encontre a solução geral utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(b) Determine a solução que satisfaz o problema de valor inicial
y\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{2}, \quad y^{\prime}\left(\frac{\pi}{8}\right)=2 .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}+4y=-2
e pede duas coisas:
(a) Encontrar a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados.
(b) Determinar a solução que satisfaz as condições iniciais
y\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{2},\qquad y^{\prime}\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes e termo fonte constante igual a -2.
  • As condições iniciais são dadas em x=\frac{\pi}{8}.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada (essa é a parte padrão antes de procurar particular). A equação homogênea é
y^{\prime\prime}+4y=0.
Para resolver uma equação homogênea linear com coeficientes constantes, usa-se a ansatz y=e^{rx}, onde r é uma constante a determinar. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica:
r^{2}+4=0.
Aqui r é a incógnita da equação polinomial; resolver esta equação dá as raízes:
r=\pm 2i.
Quando as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta com \alpha=0 e \beta=2, a solução geral da homogênea é combinação linear de \cos e \sin:
y_{\text{c}}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Aqui expliquei: \cos e \sin aparecem porque e^{i2x}=\cos(2x)+i\sin(2x).)

Passo 3

Agora aplicar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular y_{\text{p}}(x) da equação completa
y^{\prime\prime}+4y=-2.
O método dos coeficientes indeterminados consiste em assumir uma forma para y_{\text{p}} que seja do mesmo tipo do termo à direita da equação (a “força” ou “forçamento”) e com coeficientes indeterminados que serão ajustados por substituição. O lado direito é uma constante -2, então tentamos uma solução particular constante:
y_{\text{p}}(x)=A,
onde A é uma constante desconhecida. (Observação: essa escolha é válida porque nenhuma solução da homogênea é constante; as soluções homogêneas oscilam e não incluem constantes, então não há ressonância.)

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{\text{p}} e substituir na equação:
y_{\text{p}}''=0,\qquad y_{\text{p}}=A.
Substituindo em \,y^{\prime\prime}+4y=-2 obtemos
0+4A=-2.
Resolvendo para A:
A=-\frac{1}{2}.
Portanto uma solução particular é
y_{\text{p}}(x)=-\frac{1}{2}.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da solução complementar e da solução particular:
y(x)=y_{\text{c}}(x)+y_{\text{p}}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)-\frac{1}{2}.
Isso responde à parte (a). (Resumo do que cada símbolo significa: C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias a serem fixadas por condições iniciais; x é a variável independente; as funções \cos(2x) e \sin(2x) vêm da solução da homogênea.)

Passo 6

Agora resolvemos a parte (b): aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro escrevo a condição em x=\frac{\pi}{8}. Como \cos\!\big(2\cdot\frac{\pi}{8}\big)=\cos\!\big(\frac{\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2} e \sin\!\big(2\cdot\frac{\pi}{8}\big)=\sin\!\big(\frac{\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2}, substituo em y(x):
y\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=C_{1}\frac{\sqrt{2}}{2}+C_{2}\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.
A condição dada é y\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{2}. Igualando:
\frac{\sqrt{2}}{2}(C_{1}+C_{2})-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Isolando a combinação C_{1}+C_{2}:
\frac{\sqrt{2}}{2}(C_{1}+C_{2})=1.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} obtemos
C_{1}+C_{2}=\sqrt{2}.

Passo 7

Agora uso a condição sobre a derivada. Primeiro calculo y'(x) derivando a solução geral termo a termo:
  • Derivada de C_{1}\cos(2x) é -2C_{1}\sin(2x) (regra da cadeia: derivada de \cos(u) é -\sin(u)u', aqui u=2x, u'=2).
  • Derivada de C_{2}\sin(2x) é 2C_{2}\cos(2x).
  • Derivada de -\tfrac{1}{2} é 0.
Assim
y'(x)=-2C_{1}\sin(2x)+2C_{2}\cos(2x).
Avalio em x=\frac{\pi}{8} usando \sin\!\big(\frac{\pi}{4}\big)=\cos\!\big(\frac{\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2}:
y'\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=-2C_{1}\frac{\sqrt{2}}{2}+2C_{2}\frac{\sqrt{2}}{2}=-C_{1}\sqrt{2}+C_{2}\sqrt{2}=\sqrt{2}(-C_{1}+C_{2}).
A condição é y'\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=2. Portanto
\sqrt{2}(-C_{1}+C_{2})=2.
Dividindo por \sqrt{2} obtemos
-C_{1}+C_{2}=\sqrt{2}.

Passo 8

Agora resolvo o sistema linear formado pelas duas equações para C_{1}\) e \(C_{2}\): \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\sqrt{2},\\[4pt] - C_{1}+C_{2}=\sqrt{2}. \end{cases}
Somando as duas equações cancela C_{1}\]: \[2C_{2}=2\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=\sqrt{2}.\] Substituindo em \(C_{1}+C_{2}=\sqrt{2}
C_{1}+\sqrt{2}=\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=0.]

Passo 9

Com C_{1}=0 e C_{2}=\sqrt{2} a solução que satisfaz o problema de valor inicial é
y(x)=0\cdot\cos(2x)+\sqrt{2}\sin(2x)-\frac{1}{2}=\sqrt{2}\sin(2x)-\frac{1}{2}.
Como checagem rápida (para ganhar confiança): em x=\frac{\pi}{8} temos y=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, e
y'(x)=\sqrt{2}\cdot 2\cos(2x)=2\sqrt{2}\cos(2x),
logo y'\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2, como exigido. Tudo confere — ótimo trabalho mantendo a calma!

Resposta

(a) y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)-\dfrac{1}{2}.
(b) y(x)=\sqrt{2}\sin(2x)-\dfrac{1}{2}.

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