Resolva a seguinte equação diferencial homogênea:
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}+x y}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}+x y}{x^{2}}.
Informações e pedidos que extraí do enunciado:
  • A equação diferencial dada é uma equação ordinária de primeira ordem.
  • Temos a derivada \frac{d y}{d x} em função de x e y através da razão \frac{y^{2}+x y}{x^{2}}.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou soluções particulares especiais, se existirem).
  • Note que a expressão contém divisão por x^{2}, portanto pontos com x=0 precisam ser tratados à parte (domínio da solução será com x\neq 0).

Passo 2

Por que e como escolher uma mudança de variável: observe que a direita pode ser escrita em termos de y/x. Vou mostrar isso explicitamente e explicar por que é útil. Tomando a razão dada,
\frac{y^{2}+x y}{x^{2}}=\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{y}{x}=\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+\left(\frac{y}{x}\right).
Quando a derivada está expressa apenas em função da razão \frac{y}{x}, é típico usar a substituição
y=u(x)\,x,
ou seja, definir \;u=\frac{y}{x}\;. Essa substituição transforma a equação em uma equação para u(x) e frequentemente leva a uma equação separável — muito mais fácil de resolver à mão. Antes de aplicá-la, explico como calcular \frac{d y}{d x} quando y=ux.

Passo 3

Derivada de y=ux em relação a x: usando a regra do produto,
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(u(x)\,x)=u(x)+x\frac{d u}{d x}.
Aqui eu escrevo u em vez de u(x) quando não houver ambiguidade, mas lembre-se que u depende de x.

Passo 4

Substituindo y=ux e \frac{d y}{d x}=u+x\frac{d u}{d x} na equação original. A direita já foi escrita em termos de u:
u + x\frac{d u}{d x} = u^{2} + u.
Agora simplificamos: o termo u aparece dos dois lados e se cancela:
x\frac{d u}{d x} = u^{2}.

Passo 5

Obtemos uma equação separável em u e x. Isolamos os termos em u de um lado e os termos em x do outro:
\frac{d u}{d x}=\frac{u^{2}}{x}\quad\Longrightarrow\quad \frac{d u}{u^{2}}=\frac{d x}{x}.
Separável significa exatamente isso: todas as ocorrências de u do lado esquerdo e de x do lado direito, pronto para integrar.

Passo 6

Integração dos dois lados. Calculo as integrais com calma:
\int \frac{d u}{u^{2}}=\int \frac{d x}{x}.
A integral do lado esquerdo é uma integral simples de potência: \int u^{-2}\,du=-u^{-1}+C. A integral do lado direito é \int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C. Fazendo uma única constante de integração ao comparar os dois lados, escrevo
-\,\frac{1}{u}=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração (qualquer constante arbitrária pode ser colocada aqui).

Passo 7

Isolando u: multiplico por -1 e reorganizo para expressar u de forma explícita. Temos
\frac{1}{u}=-\ln|x|-C.
Posso definir uma nova constante arbitrária C_{1}=-C (isso é só renomear a constante), obtendo
\frac{1}{u}=C_{1}-\ln|x|.
Invertendo,
u=\frac{1}{C_{1}-\ln|x|},
onde C_{1} é uma constante arbitrária real. Essa é a solução para u(x), válida para C_{1}-\ln|x|\neq 0 e x\neq 0.

Passo 8

Volto para y usando y=ux. Substituindo u na expressão:
y(x)=x\,u(x)=x\cdot\frac{1}{C_{1}-\ln|x|}=\frac{x}{C_{1}-\ln|x|}.
Essa é a família de soluções gerais, com constante arbitrária C_{1}. Repare que precisamos ter x\neq 0 (pois havia \ln|x|) e também C_{1}-\ln|x|\neq 0 para não dividir por zero.

Passo 9

Verificação de soluções singulares/extras: ao fazer a separação dividi por u^{2}, então precisamos verificar soluções que foram perdidas por essa divisão. Se u\equiv 0, então y=ux=0 para todo x. Testando na equação original:
\text{se }y\equiv 0\text{ então } \frac{d y}{d x}=0 \quad\text{e}\quad \frac{y^{2}+x y}{x^{2}}=0,ã
portanto y\equiv 0 é, de fato, uma solução (a solução trivial). Ela não aparece na forma \dfrac{x}{C_{1}-\ln|x|} para qualquer valor finito de C_{1}, então devemos listá-la separadamente.

Passo 10

Resumo final com observações de domínio e constantes:
  • Solução geral (família com constante C): \;y(x)=\dfrac{x}{C-\ln|x|}, onde C é constante arbitrária e a solução vale para x\neq 0 e C-\ln|x|\neq 0.
  • Solução trivial: \;y(x)\equiv 0.
    Estas cobrem as soluções da equação diferencial dada (em cada intervalo onde \ln|x| e o denominador são contínuos).

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{x}{C-\ln|x|}
\displaystyle y(x)\equiv 0

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