Resolva a seguinte equação diferencial homogênea:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações e pedidos que extraí do enunciado:
- A equação diferencial dada é uma equação ordinária de primeira ordem.
- Temos a derivada
em função de e através da razão . - O objetivo é encontrar a solução geral
(ou soluções particulares especiais, se existirem). - Note que a expressão contém divisão por
, portanto pontos com precisam ser tratados à parte (domínio da solução será com ).
Passo 2
Por que e como escolher uma mudança de variável: observe que a direita pode ser escrita em termos de
. Vou mostrar isso explicitamente e explicar por que é útil. Tomando a razão dada,
Quando a derivada está expressa apenas em função da razão
, é típico usar a substituição
ou seja, definir
. Essa substituição transforma a equação em uma equação para
e frequentemente leva a uma equação separável — muito mais fácil de resolver à mão. Antes de aplicá-la, explico como calcular
quando
.
Passo 3
Derivada de
em relação a
: usando a regra do produto,
Aqui eu escrevo
em vez de
quando não houver ambiguidade, mas lembre-se que
depende de
.
Passo 4
Substituindo
e
na equação original. A direita já foi escrita em termos de
:
Agora simplificamos: o termo
aparece dos dois lados e se cancela:
Passo 5
Obtemos uma equação separável em
e
. Isolamos os termos em
de um lado e os termos em
do outro:
Separável significa exatamente isso: todas as ocorrências de
do lado esquerdo e de
do lado direito, pronto para integrar.
Passo 6
Integração dos dois lados. Calculo as integrais com calma:
A integral do lado esquerdo é uma integral simples de potência:
. A integral do lado direito é
. Fazendo uma única constante de integração ao comparar os dois lados, escrevo
onde
é a constante de integração (qualquer constante arbitrária pode ser colocada aqui).
Passo 7
Isolando
: multiplico por
e reorganizo para expressar
de forma explícita. Temos
Posso definir uma nova constante arbitrária
(isso é só renomear a constante), obtendo
Invertendo,
onde
é uma constante arbitrária real. Essa é a solução para
, válida para
e
.
Passo 8
Volto para
usando
. Substituindo
na expressão:
Essa é a família de soluções gerais, com constante arbitrária
. Repare que precisamos ter
(pois havia
) e também
para não dividir por zero.
Passo 9
Verificação de soluções singulares/extras: ao fazer a separação dividi por
, então precisamos verificar soluções que foram perdidas por essa divisão. Se
, então
para todo
. Testando na equação original:
portanto
é, de fato, uma solução (a solução trivial). Ela não aparece na forma
para qualquer valor finito de
, então devemos listá-la separadamente.
Passo 10
Resumo final com observações de domínio e constantes:
- Solução geral (família com constante
): , onde é constante arbitrária e a solução vale para e . - Solução trivial:
.
Estas cobrem as soluções da equação diferencial dada (em cada intervalo ondee o denominador são contínuos).