Resolva a seguinte equação diferencial:
a) Encontre a solução geral.
b) Determine a solução particular que satisfaz a condição inicial
.
b) Determine a solução particular que satisfaz a condição inicial
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede duas coisas:
- Encontrar a solução geral da equação diferencial.
- Determinar a solução particular que satisfaz a condição inicial
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
e a condição inicial
(esta última só para a parte b).
Passo 2
Observação e técnica a usar (explicada passo a passo): a equação é separável. Isso significa que podemos escrever todos os termos envolvendo
com
num lado da igualdade e todos os termos envolvendo
com
no outro lado, e então integrar. Antes de separar, é bom notar que não podemos dividir por
se
; portanto estamos procurando soluções para as quais
não é identicamente zero (a solução
não é válida porque a direita seria
, indefinida).
Passo prático de separação: multiplicamos ambos os lados por
para juntar os
com
:
Expliquei: movi
para o lado esquerdo e multiplique por
para ficar na forma integrável.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. A regra básica que usamos:
(para
) e
,
. Aplicando:
Calcule cada integral:
As constantes de integração de ambos os lados podem ser combinadas numa única constante. Subtraindo
dos dois lados e chamando o resultado de
, obtemos:
Passo 4
Multiplicamos a igualdade por
para simplificar a aparência da constante:
onde
é uma constante arbitrária real. Agora isolamos
: aplicamos a função inversa do cubo, que é a raiz cúbica (o inverso de elevar ao cubo). Assim a solução geral, escrita explicitamente para
, é
onde
é uma constante real arbitrária. Comentário prático: a raiz cúbica real está definida para qualquer número real, então essa expressão fornece uma função real para qualquer
. Lembre-se apenas que a equação original não permite pontos onde
de forma a tornar a derivada indefinida; soluções implícitas que levem a
em pontos isolados devem ser tratadas com cuidado, mas a fórmula acima é a família geral.
Passo 5
Agora usamos a condição inicial para achar a constante
. Substituímos
e
na forma
:
Portanto, a solução particular que satisfaz
é
ou, explicitando
,
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): diferenciando implicitamente
obtemos
. Dividindo por
dá
, que é exatamente a equação original. Então a solução particular encontrada está correta.