Resolva a seguinte equação diferencial:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+1}{y^{2}}
a) Encontre a solução geral.
b) Determine a solução particular que satisfaz a condição inicial y(0)=2.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+1}{y^{2}}
e pede duas coisas:
  1. Encontrar a solução geral da equação diferencial.
  2. Determinar a solução particular que satisfaz a condição inicial \,y(0)=2.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\,\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+1}{y^{2}} e a condição inicial \,y(0)=2 (esta última só para a parte b).

Passo 2

Observação e técnica a usar (explicada passo a passo): a equação é separável. Isso significa que podemos escrever todos os termos envolvendo y com dy num lado da igualdade e todos os termos envolvendo x com dx no outro lado, e então integrar. Antes de separar, é bom notar que não podemos dividir por y^{2} se y=0; portanto estamos procurando soluções para as quais y não é identicamente zero (a solução y\equiv0 não é válida porque a direita seria (x^{2}+1)/0, indefinida).
Passo prático de separação: multiplicamos ambos os lados por y^{2}\,dx para juntar os y com dy:
y^{2}\,dy = (x^{2}+1)\,dx.
Expliquei: movi y^{2} para o lado esquerdo e multiplique por dx para ficar na forma integrável.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. A regra básica que usamos: \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1) e \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}, \int 1\,dx = x. Aplicando:
\int y^{2}\,dy = \int (x^{2}+1)\,dx.
Calcule cada integral:
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3} + C_1, \qquad \int (x^{2}+1)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + x + C_2.
As constantes de integração de ambos os lados podem ser combinadas numa única constante. Subtraindo C_1 dos dois lados e chamando o resultado de C, obtemos:
\frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + x + C.

Passo 4

Multiplicamos a igualdade por 3 para simplificar a aparência da constante:
y^{3} = x^{3} + 3x + C',
onde C' = 3C é uma constante arbitrária real. Agora isolamos y: aplicamos a função inversa do cubo, que é a raiz cúbica (o inverso de elevar ao cubo). Assim a solução geral, escrita explicitamente para y, é
y(x) = \bigl(x^{3} + 3x + C'\bigr)^{1/3},
onde C' é uma constante real arbitrária. Comentário prático: a raiz cúbica real está definida para qualquer número real, então essa expressão fornece uma função real para qualquer x. Lembre-se apenas que a equação original não permite pontos onde y=0 de forma a tornar a derivada indefinida; soluções implícitas que levem a y=0 em pontos isolados devem ser tratadas com cuidado, mas a fórmula acima é a família geral.

Passo 5

Agora usamos a condição inicial para achar a constante C'. Substituímos x=0 e y(0)=2 na forma y^{3}=x^{3}+3x+C':
2^{3} = 0^{3} + 3\cdot 0 + C' \quad\Rightarrow\quad 8 = C'.
Portanto, a solução particular que satisfaz \,y(0)=2 é
y^{3} = x^{3} + 3x + 8
ou, explicitando y,
y(x) = \bigl(x^{3} + 3x + 8\bigr)^{1/3}.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): diferenciando implicitamente y^{3}=x^{3}+3x+8 obtemos 3y^{2}y' = 3x^{2}+3. Dividindo por 3y^{2} y'=(x^{2}+1)/y^{2}, que é exatamente a equação original. Então a solução particular encontrada está correta.

Resposta

y(x)=\bigl(x^{3}+3x+C\bigr)^{1/3}, onde C é constante real.\n y(x)=\bigl(x^{3}+3x+8\bigr)^{1/3} (para a condição inicial y(0)=2).

Exercícios relacionados