Resolva a equação diferencial:
a) Encontre a solução geral.
b) Determine a solução particular que satisfaz
.
b) Determine a solução particular que satisfaz
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- (a) encontrar a solução geral da equação diferencial;
- (b) determinar a solução particular que satisfaz
.
Informações relevantes fornecidas:
e a condição inicial para a parte (b) é
.
Passo 2
Reconhecemos que a equação pode ser separada em funções de
e de
. Vou reorganizar as variáveis para colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Partindo de
multiplico ambos os lados por
e por
para obter
Essa é a forma separada: o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
. Agora vamos integrar os dois lados.
Explicação rápida do porquê: separar as variáveis significa expressar a equação como
e então integrar ambos os lados; isso funciona porque a derivada de
em relação a
foi isolada e multiplicada de forma a separar as dependências.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Vou calcular cada integral passo a passo.
Para a integral à esquerda, faço a substituição
. Então
, isto é
. Assim
A primitiva de
é
, logo
Portanto a integral esquerda vale
.
Para a integral à direita, noto que
tem derivada
. Faço a substituição
, então
e
. Assim
Como
para todo
, podemos remover o valor absoluto:
.
Juntando as duas integrais, obtemos a relação (com constante de integração
):
Passo 4
Agora transformamos essa expressão em forma explícita para
. Primeiro note que o membro esquerdo
é sempre não negativo, então a combinação
deve ser não negativa (isso impõe uma condição sobre
se necessário).
Elevando ao quadrado ambos os lados para isolar
:
Subtraindo 1 e isolando
,
Logo a solução geral, em forma explícita, é
onde o sinal
e o valor de
serão escolhidos conforme condições iniciais ou domínio desejado. Alternativamente, é aceitável deixar a solução na forma implícita
Passo 5
Agora aplico a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
na forma implícita:
Calculando cada termo:
e
. Assim
Substituindo
na solução explícita obtemos
Para decidir o sinal
, usamos a condição inicial:
. Avaliando a expressão dentro da raiz em
dá
no termo externo, e a raiz positiva corresponde a
. Portanto mantemos o sinal positivo para obter continuidade e compatibilidade com a condição inicial. Assim a solução particular é
Resposta
(a)
, ou explicitamente
.
(b)
.