Resolva a equação diferencial:
\frac{d y}{d x}=\frac{x \sqrt{1+y^{2}}}{y\left(1+x^{2}\right)}
a) Encontre a solução geral.
b) Determine a solução particular que satisfaz \mathrm{y}(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x\sqrt{1+y^{2}}}{y\left(1+x^{2}\right)}
e pede duas coisas:
  1. (a) encontrar a solução geral da equação diferencial;
  2. (b) determinar a solução particular que satisfaz \mathrm{y}(0)=1.
Informações relevantes fornecidas:
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x\sqrt{1+y^{2}}}{y(1+x^{2})} e a condição inicial para a parte (b) é \mathrm{y}(0)=1.

Passo 2

Reconhecemos que a equação pode ser separada em funções de x e de y. Vou reorganizar as variáveis para colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Partindo de
\frac{dy}{dx}=\frac{x\sqrt{1+y^{2}}}{y(1+x^{2})},
multiplico ambos os lados por \dfrac{y}{\sqrt{1+y^{2}}} e por dx para obter
\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy=\frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Essa é a forma separada: o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x. Agora vamos integrar os dois lados.
Explicação rápida do porquê: separar as variáveis significa expressar a equação como g(y)\,dy = h(x)\,dx e então integrar ambos os lados; isso funciona porque a derivada de y em relação a x foi isolada e multiplicada de forma a separar as dependências.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy=\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Vou calcular cada integral passo a passo.
Para a integral à esquerda, faço a substituição u=1+y^{2}. Então du=2y\,dy, isto é y\,dy=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}\,dy=\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du.
A primitiva de u^{-1/2} é 2u^{1/2}, logo
\frac{1}{2}\cdot 2u^{1/2}=u^{1/2}=\sqrt{1+y^{2}}.
Portanto a integral esquerda vale \sqrt{1+y^{2}}.
Para a integral à direita, noto que 1+x^{2} tem derivada 2x. Faço a substituição v=1+x^{2}, então dv=2x\,dx e x\,dx=\dfrac{dv}{2}. Assim
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{v}\,dv=\frac{1}{2}\ln|v|+\text{const}.
Como v=1+x^{2}>0 para todo x, podemos remover o valor absoluto: \dfrac{1}{2}\ln(1+x^{2}).
Juntando as duas integrais, obtemos a relação (com constante de integração C):
\sqrt{1+y^{2}}=\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C.

Passo 4

Agora transformamos essa expressão em forma explícita para y. Primeiro note que o membro esquerdo \sqrt{1+y^{2}} é sempre não negativo, então a combinação \dfrac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C deve ser não negativa (isso impõe uma condição sobre C se necessário).
Elevando ao quadrado ambos os lados para isolar y:
1+y^{2}=\left(\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C\right)^{2}.
Subtraindo 1 e isolando y,
y^{2}=\left(\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C\right)^{2}-1.
Logo a solução geral, em forma explícita, é
y=\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C\right)^{2}-1},
onde o sinal \pm e o valor de C serão escolhidos conforme condições iniciais ou domínio desejado. Alternativamente, é aceitável deixar a solução na forma implícita
\sqrt{1+y^{2}}=\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C.

Passo 5

Agora aplico a condição inicial \mathrm{y}(0)=1 para encontrar a constante C. Substituindo x=0 e y(0)=1 na forma implícita:
\sqrt{1+1^{2}}=\frac{1}{2}\ln(1+0^{2})+C.
Calculando cada termo: \sqrt{1+1^{2}}=\sqrt{2} e \ln(1+0^{2})=\ln 1=0. Assim
\sqrt{2}=0+C \quad\Rightarrow\quad C=\sqrt{2}.
Substituindo C=\sqrt{2} na solução explícita obtemos
y=\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+\sqrt{2}\right)^{2}-1}.
Para decidir o sinal \pm, usamos a condição inicial: y(0)=1>0. Avaliando a expressão dentro da raiz em x=0 \sqrt{2} no termo externo, e a raiz positiva corresponde a y(0)=1. Portanto mantemos o sinal positivo para obter continuidade e compatibilidade com a condição inicial. Assim a solução particular é
y(x)=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+\sqrt{2}\right)^{2}-1}.

Resposta

(a) \displaystyle \sqrt{1+y^{2}}=\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C, ou explicitamente \displaystyle y=\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C\right)^{2}-1}.
(b) \displaystyle y(x)=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+\sqrt{2}\right)^{2}-1}.

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